Determine as integrais definidas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
e
. A única pergunta é obter o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Vamos manipular o integrando para usar identidades trigonométricas que facilitam a integração. Lembre que
onde
e
. Então
Expandindo o quadrado obtemos
Passo 3
Assim a integral fica
Podemos integrar termo a termo. Observação útil: a derivada de
é
, ou seja,
logo
. Falta então tratar
.
Passo 4
Para
reescrevemos
como
usando
. Assim
Essa forma é conveniente porque
é exatamente
. Portanto fazemos a substituição
Passo 5
Aplicando a substituição, obtemos uma primitiva para
:
Integrando
obtemos
. Voltando para
,
Passo 6
Agora juntamos todas as primitivas para a integral original. Temos
Agrupando os termos em
,
Passo 7
Agora avaliamos a integral definida em
. Usamos
e
. Assim
No extremo superior
o valor é
No extremo inferior
o valor é
Subtraindo, a integral definida vale
.