Determine as integrais definidas seguintes:
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{4} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{4} t \, dt.
Informações dadas: o integrando é \tan^{4} t e os limites de integração são t=0 e t=\pi/4. A única pergunta é obter o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Vamos manipular o integrando para usar identidades trigonométricas que facilitam a integração. Lembre que
\tan^{2} t = \operatorname{sec}^{2} t - 1,
onde \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} e \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}. Então
\tan^{4} t = (\tan^{2} t)^{2} = (\operatorname{sec}^{2} t - 1)^{2}.
Expandindo o quadrado obtemos
\tan^{4} t = \operatorname{sec}^{4} t - 2\operatorname{sec}^{2} t + 1.

Passo 3

Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{4} t \, dt = \int_{0}^{\pi/4} \bigl(\operatorname{sec}^{4} t - 2\operatorname{sec}^{2} t + 1\bigr)\, dt.
Podemos integrar termo a termo. Observação útil: a derivada de \tan t é \operatorname{sec}^{2} t, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(\tan t\bigr)=\operatorname{sec}^{2} t,
logo \int \operatorname{sec}^{2} t\, dt = \tan t + C. Falta então tratar \int \operatorname{sec}^{4} t\, dt.

Passo 4

Para \int \operatorname{sec}^{4} t\, dt reescrevemos \operatorname{sec}^{4} t como
\operatorname{sec}^{4} t = \operatorname{sec}^{2} t \cdot \operatorname{sec}^{2} t = \operatorname{sec}^{2} t \bigl(1+\tan^{2} t\bigr),
usando \operatorname{sec}^{2} t = 1+\tan^{2} t. Assim
\operatorname{sec}^{4} t = \operatorname{sec}^{2} t + \operatorname{sec}^{2} t\,\tan^{2} t.
Essa forma é conveniente porque \operatorname{sec}^{2} t\, dt é exatamente d(\tan t). Portanto fazemos a substituição
u=\tan t,\qquad du=\operatorname{sec}^{2} t\, dt.

Passo 5

Aplicando a substituição, obtemos uma primitiva para \operatorname{sec}^{4} t:
\int \operatorname{sec}^{4} t\, dt = \int \operatorname{sec}^{2} t\, dt + \int \operatorname{sec}^{2} t\,\tan^{2} t\, dt = \tan t + \int u^{2}\, du.
Integrando u^{2} obtemos u^{3}/3. Voltando para t,
\int \operatorname{sec}^{4} t\, dt = \tan t + \frac{\tan^{3} t}{3} + C.

Passo 6

Agora juntamos todas as primitivas para a integral original. Temos
\int \tan^{4} t\, dt = \int \bigl(\operatorname{sec}^{4} t - 2\operatorname{sec}^{2} t + 1\bigr)\, dt = \left(\tan t + \frac{\tan^{3} t}{3}\right) - 2\tan t + t + C.
Agrupando os termos em \tan t,
\int \tan^{4} t\, dt = -\tan t + \frac{\tan^{3} t}{3} + t + C.

Passo 7

Agora avaliamos a integral definida em [0,\pi/4]. Usamos \tan(\pi/4)=1 e \tan 0=0. Assim
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{4} t\, dt = \left[-\tan t + \frac{\tan^{3} t}{3} + t \right]_{0}^{\pi/4}.
No extremo superior t=\pi/4 o valor é
-\;1 + \frac{1^{3}}{3} + \frac{\pi}{4} = -1 + \frac{1}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}.
No extremo inferior t=0 o valor é
-0 + \frac{0^{3}}{3} + 0 = 0.
Subtraindo, a integral definida vale \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}

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