Determine as integrais definidas seguintes:
\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \operatorname{cotg}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cot^3 x\,dx.
Informações dadas: o integrando é \cot^3 x e os limites de integração são x=\pi/4 (inferior) e x=\pi/2 (superior). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Vamos simplificar a potência de cosseno sobre seno usando uma identidade trigonométrica útil. Lembra que por definição \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. A identidade pitagórica adaptada é
1+\cot^2 x=\csc^2 x,
que vem de dividir \sin^2 x+\cos^2 x=1 por \sin^2 x. Dessa identidade obtemos
\cot^2 x=\csc^2 x-1.

Passo 3

Usando \cot^2 x=\csc^2 x-1 escrevemos
\cot^3 x=\cot x\cdot\cot^2 x=\cot x(\csc^2 x-1).
Então a integral se separa:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot^3 x\,dx=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,\csc^2 x\,dx-\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,dx.

Passo 4

Calculemos a primiera integral em forma indefinida para entender a antiderivada. Considere
I_1=\int \cot x\,\csc^2 x\,dx.
Faça a substituição u=\cot x. A derivada de \cot x é \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x, logo
du=-\csc^2 x\,dx\quad\Rightarrow\quad \csc^2 x\,dx=-du.
Substituindo em I_1 obtemos
I_1=\int u\cdot(-du)=-\int u\,du=-\frac{u^2}{2}+C.
Voltando a x,
I_1=-\frac{1}{2}\cot^2 x + C.
Aqui explico: escolhemos essa substituição porque o fator \csc^2 x\,dx é praticamente a diferencial de \cot x, o que simplifica muito.

Passo 5

Agora a segunda integral indefinida:
I_2=\int \cot x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx.
Faça t=\sin x, então dt=\cos x\,dx. Assim
I_2=\int \frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|\sin x|+C.
Observação prática: no intervalo [\pi/4,\pi/2] temos \sin x>0, então podemos trocar \ln|\sin x| por \ln(\sin x) sem problema.

Passo 6

Juntando as duas antiderivadas, uma primitiva da função \cot^3 x é
F(x)=-\frac{1}{2}\cot^2 x-\ln|\sin x|+C.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(\pi/2)-F(\pi/4).

Passo 7

Avaliando nos limites:
  • Em x=\pi/2:
\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
logo
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}\cdot 0^2-\ln(1)=0-0=0.
  • Em x=\pi/4:
\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
então
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}\cdot 1^2-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Calculemos \ln\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Escrevendo \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2} obtemos
\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}\ln 2.
Portanto
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\ln 2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2.
Agora a integral definida:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot^3 x\,dx=F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0-\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 8

Resumo curto e simpático: usando a identidade \cot^2 x=\csc^2 x-1 e substituições naturais encontramos a primitiva e avaliamos nos limites. Se ficou meio chato, tá tudo bem — essa técnica (separar uma potência ímpar de cot ou tan em um produto que permita substituição) aparece muito em prova e vale decorar o truque!

Resposta

\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln 2

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