Determine as integrais definidas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
(inferior) e
(superior). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Vamos simplificar a potência de cosseno sobre seno usando uma identidade trigonométrica útil. Lembra que por definição
e
. A identidade pitagórica adaptada é
que vem de dividir
por
. Dessa identidade obtemos
Passo 3
Usando
escrevemos
Então a integral se separa:
Passo 4
Calculemos a primiera integral em forma indefinida para entender a antiderivada. Considere
Faça a substituição
. A derivada de
é
, logo
Substituindo em
obtemos
Voltando a
,
Aqui explico: escolhemos essa substituição porque o fator
é praticamente a diferencial de
, o que simplifica muito.
Passo 5
Agora a segunda integral indefinida:
Faça
, então
. Assim
Observação prática: no intervalo
temos
, então podemos trocar
por
sem problema.
Passo 6
Juntando as duas antiderivadas, uma primitiva da função
é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
.
Passo 7
Avaliando nos limites:
- Em
:
logo
- Em
:
então
Calculemos
. Escrevendo
obtemos
Portanto
Agora a integral definida:
Passo 8
Resumo curto e simpático: usando a identidade
e substituições naturais encontramos a primitiva e avaliamos nos limites. Se ficou meio chato, tá tudo bem — essa técnica (separar uma potência ímpar de cot ou tan em um produto que permita substituição) aparece muito em prova e vale decorar o truque!