Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx
é convergente ou divergente. Vamos usar o método de separar o intervalo em duas partes, tratando a singularidade em x=0 e o comportamento em x\to+\infty.

Passo 2

Separemos em
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}}\,dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Analisaremos cada uma dessas integrais impróprias.

Passo 3

Calculemos primeiro
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{B\to+\infty} \int_{1}^{B} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{B\to+\infty} \Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{1}^{B} = \lim_{B\to+\infty}\bigl(-\tfrac{1}{B}+1\bigr) =1.
Essa parte converge para 1.

Passo 4

Agora analisemos
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\epsilon\to0^{+}} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{\epsilon\to0^{+}} \Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon\to0^{+}}\bigl(-1 + \tfrac{1}{\epsilon}\bigr) = +\infty.
Como essa parte diverge, a integral total não pode convergir.

Resposta

A integral diverge.

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