Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
I = \int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx.
Aqui temos dois pontos de impropriedade:
  1. A singularidade em x=-1, onde o integrando fica infinito.
  2. O limite superior +\infty.
    O conteúdo é “integrais impróprias”: vamos usar antiderivada e limites para cada parte.

Passo 2

Calculemos a antiderivada de \frac1{(x+1)^3}. Seja u = x+1. Então
\int \frac{1}{(x+1)^3}\,dx = \int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C.

Passo 3

Para verificar a convergência na vizinhança de x=-1, partimos a integral em
\int_{-2}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)^3}\,dx = \int_{-2}^{-1}\frac{1}{(x+1)^3}\,dx \;+\; \int_{-1}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)^3}\,dx.
Analise a primeira parcela
\int_{-2}^{-1}\frac{1}{(x+1)^3}\,dx = \lim_{t\to(-1)^-}\Bigl[-\frac{1}{2(x+1)^2}\Bigr]_{x=-2}^{x=t} = \lim_{t\to(-1)^-}\Bigl(-\frac{1}{2(t+1)^2} + \frac{1}{2(-1)^2}\Bigr).
Como t+1\to0^-, temos \frac{1}{(t+1)^2}\to+\infty e, portanto,
-\frac{1}{2(t+1)^2}\;\longrightarrow\;-\infty.
Logo a integral de -2 a -1 diverge (va para -\infty).

Passo 4

Como já há divergência na parte \displaystyle\int_{-2}^{-1}\!), a integral total não pode convergir, independentemente do comportamento para \(+\infty.)

Resposta

A integral diverge.

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