Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral imprópria
que apresenta singularidade em
. O conteúdo é integrais impróprias do tipo p-integral e vamos precisar:
- reescrever como limite para tratar a singularidade,
- encontrar a antiderivada de
, - avaliar o limite resultante.
Passo 2
Como a função diverge em
, reescrevemos
como limite
Se esse limite for finito, a integral convergirá.
Passo 3
Calculamos a antiderivada de
. Fazendo
, temos
Passo 4
Usando a antiderivada,
Agora tomamos o limite
:
Passo 5
Como o valor do limite é finito
, concluímos que a integral imprópria é convergente.
Resposta
A integral é convergente e converge para
.