Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{-1}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
I = \int_{-1}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx
que apresenta singularidade em x=-1. O conteúdo é integrais impróprias do tipo p-integral e vamos precisar:
  1. reescrever como limite para tratar a singularidade,
  2. encontrar a antiderivada de \frac{1}{\sqrt{x+1}},
  3. avaliar o limite resultante.

Passo 2

Como a função diverge em x=-1, reescrevemos I como limite
I = \lim_{a\to(-1)^+} \int_{a}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx.
Se esse limite for finito, a integral convergirá.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de \frac{1}{\sqrt{x+1}}. Fazendo u = x+1, temos
\int \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx = \int u^{-\tfrac12} \, du = 2\,u^{\tfrac12} + C = 2\sqrt{x+1} + C.

Passo 4

Usando a antiderivada,
\int_{a}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx = \Bigl[2\sqrt{x+1}\Bigr]_{x=a}^{x=8} = 2\sqrt{8+1} - 2\sqrt{a+1} = 2\cdot 3 - 2\sqrt{a+1} = 6 - 2\sqrt{a+1}.
Agora tomamos o limite a\to(-1)^+:
\lim_{a\to(-1)^+} \bigl(6 - 2\sqrt{a+1}\bigr) = 6 - 2\cdot 0 = 6.

Passo 5

Como o valor do limite é finito 6, concluímos que a integral imprópria é convergente.

Resposta

A integral é convergente e converge para 6.

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