Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
I = \int_{-\tfrac{3}{2}}^{\tfrac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^{2}}}\,dx
e, em caso de convergência, determinar seu valor. O conteúdo envolvido é análise de integrais impróprias com singularidades nos limites de integração e cálculo por substituição trigonométrica.

Passo 2

Observamos que o integrando \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} fica não definido quando 9-4x^2=0, ou seja em x=\pm \tfrac{3}{2}. Perto de x_0=\tfrac{3}{2} (e similarmente em -\tfrac{3}{2}) temos
9-4x^2 = 9 - 4\bigl(x_0 + h\bigr)^2 \approx 9 - 4\bigl(x_0^2 + 2x_0 h\bigr) = -8x_0\,h = -12\,h
logo \sqrt{9-4x^2}\approx \sqrt{12\,|h|}\propto \sqrt{|h|}. Assim o integrando comporta-se como \tfrac{1}{\sqrt{|h|}} ao aproximar-se da singularidade, e é conhecido que
\int_{0}^{\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{h}}\,dh
é convergente. Portanto a integral original é convergente nos dois extremos.

Passo 3

Para calcular I, fazemos a substituição trigonométrica
x = \frac{3}{2}\,\sin t,
de modo que
dx = \frac{3}{2}\,\cos t\,dt, \qquad \sqrt{9 - 4x^{2}} = \sqrt{9 - 4\bigl(\tfrac{3}{2}\sin t\bigr)^{2}} = \sqrt{9\bigl(1 - \sin^{2}t\bigr)} = 3\,\cos t.
Os limites em x são x=-\tfrac{3}{2}\mapsto t=-\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{3}{2}\mapsto t=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituindo na integral,
I = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{1}{3\cos t}\,\Bigl(\tfrac{3}{2}\cos t\,dt\Bigr) = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\,\Bigl[t\Bigr]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\,\bigl(\tfrac{\pi}{2} - (-\tfrac{\pi}{2})\bigr) = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Concluímos que a integral é convergente e seu valor é \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle I=\frac{\pi}{2}.

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