Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
e, em caso de convergência, determinar seu valor. O conteúdo envolvido é análise de integrais impróprias com singularidades nos limites de integração e cálculo por substituição trigonométrica.
Passo 2
Observamos que o integrando
fica não definido quando
, ou seja em
. Perto de
(e similarmente em
) temos
logo
. Assim o integrando comporta-se como
ao aproximar-se da singularidade, e é conhecido que
é convergente. Portanto a integral original é convergente nos dois extremos.
Passo 3
Para calcular
, fazemos a substituição trigonométrica
de modo que
Os limites em
são
e
.
Passo 4
Substituindo na integral,
Passo 5
Concluímos que a integral é convergente e seu valor é
.