Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
Isso envolve dois tipos de impropriedade: o limite inferior
gera singularidade na raiz, e o limite superior é infinito. Vamos primeiro testar a convergência e, se convergir, calcular o valor exato.
Passo 2
Analisando a convergência:
– Perto de , escrevemos
com
. Então
– Perto de
e a função integranda se comporta como
cuja integral
converge.
– Para , temos
, logo
– Para
e
também converge.
Portanto a integral é convergente.
Portanto a integral é convergente.
Passo 3
Para calcular
fazemos a substituição trigonométrica
Como
a parte integranda vira
Passo 4
Os limites em
correspondem a
e
. Assim
Resposta
A integral converge e vale
.