Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
I=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx
Isso envolve dois tipos de impropriedade: o limite inferior x=1 gera singularidade na raiz, e o limite superior é infinito. Vamos primeiro testar a convergência e, se convergir, calcular o valor exato.

Passo 2

Analisando a convergência:
– Perto de x=1^+, escrevemos x=1+h com h\to0^+. Então
\sqrt{x^2-1}=\sqrt{(1+h)^2-1}=\sqrt{2h+h^2}\sim\sqrt{2h},
e a função integranda se comporta como
\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\sim\frac{1}{1\cdot\sqrt{2h}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\;h^{-\tfrac12},
cuja integral \int_0 h^{-1/2}dh converge.
– Para x\to+\infty, temos \sqrt{x^2-1}\sim x, logo
\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\sim\frac{1}{x^2},
e \int^{\infty}x^{-2}dx também converge.
Portanto a integral é convergente.

Passo 3

Para calcular I fazemos a substituição trigonométrica
x=\operatorname{sec}\theta,\quad dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\quad \theta\in\bigl[0,\tfrac\pi2\bigr).
Como
\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\operatorname{sec}^2\theta-1}=\tan\theta,
a parte integranda vira
\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx =\frac{1}{\operatorname{sec}\theta\;\tan\theta}\,\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) =d\theta.

Passo 4

Os limites em \theta correspondem a x=1\Rightarrow\theta=0 e x\to+\infty\Rightarrow\theta\to\tfrac\pi2. Assim
I=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx =\int_{0}^{\frac\pi2}d\theta =\frac\pi2.

Resposta

A integral converge e vale \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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