Determine as integrais:
\int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é a fração racional \dfrac{x+3}{x(x-3)(x-4)}.
  • O denominador já está fatorado em fatores lineares distintos: x, x-3 e x-4.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+3}{x(x-3)(x-4)}.

Passo 2

Vamos usar a técnica de frações parciais (explico direitinho). A ideia é escrever a fração racional como soma de frações mais simples cujo denominador é cada um dos fatores lineares. Assumimos
\frac{x+3}{x(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x-4},
onde A, B e C são constantes a determinar. Para achar A,B,C multiplicamos ambos os lados por x(x-3)(x-4) e obtemos uma identidade polinomial:
x+3 = A(x-3)(x-4) + Bx(x-4) + Cx(x-3).

Passo 3

Agora determinamos A, B e C de maneira prática: escolhemos valores de x que anulem termos para isolar as constantes (método rápido e elegante).
  • Para x=0:
0+3 = A(0-3)(0-4) \implies 3 = A\cdot(-3)\cdot(-4)=12A \implies A=\frac{1}{4}.
  • Para x=3:
3+3 = B\cdot 3\cdot(3-4) \implies 6 = B\cdot 3\cdot(-1) = -3B \implies B=-2.
  • Para x=4:
4+3 = C\cdot 4\cdot(4-3) \implies 7 = C\cdot 4\cdot 1 = 4C \implies C=\frac{7}{4}.

Passo 4

Com A, B e C encontrados, reescrevemos a integral como soma de termos simples:
\frac{x+3}{x(x-3)(x-4)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}-2\cdot\frac{1}{x-3}+\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-4}.
Então
\int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)}\,dx = \int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}-2\cdot\frac{1}{x-3}+\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-4}\right)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrete curto: \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C e, mais geralmente, \displaystyle\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Aplicando isso:
\int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{4}\ln|x|,
\int -2\cdot\frac{1}{x-3}\,dx=-2\ln|x-3|,
\int \frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-4}\,dx=\frac{7}{4}\ln|x-4|.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração \,C, obtemos a primitiva completa.

Resposta

\frac{1}{4}\ln|x|-2\ln|x-3|+\frac{7}{4}\ln|x-4|+C

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