Determine as integrais:
\int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)} d x
\int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é a fração racional
. - O denominador já está fatorado em fatores lineares distintos:
, e . - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Vamos usar a técnica de frações parciais (explico direitinho). A ideia é escrever a fração racional como soma de frações mais simples cujo denominador é cada um dos fatores lineares. Assumimos
onde
,
e
são constantes a determinar. Para achar
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos uma identidade polinomial:
Passo 3
Agora determinamos
,
e
de maneira prática: escolhemos valores de
que anulem termos para isolar as constantes (método rápido e elegante).
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Com
,
e
encontrados, reescrevemos a integral como soma de termos simples:
Então
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Lembrete curto:
e, mais geralmente,
. Aplicando isso:
Somando os resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva completa.