Determine as integrais:
\int \frac{x{2}+3}{x{2}-9} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+3}{x^{2}-9}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
\text{denominador }x^{2}-9=(x-3)(x+3),
portanto a função tem singularidades (pontos onde a função não está definida) em x=3 e x=-3. A integral é uma primitiva válida em intervalos que não cruzem esses pontos. Vamos realizar a integração algébricamente, passo a passo.

Passo 2

Primeira ideia prática: quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador numa função racional, convém dividir (ou reescrever) para separar uma parte polinomial e uma fração própria. Aqui fazemos uma manipulação simples:
x^{2}+3 = (x^{2}-9) + 12,
porque (x^{2}-9)+12 = x^{2}-9+12 = x^{2}+3. Então a integranda fica
\frac{x^{2}+3}{x^{2}-9} = \frac{(x^{2}-9)+12}{x^{2}-9} = 1 + \frac{12}{x^{2}-9}.
Explicação didática: essa etapa equivale à divisão polinomial que resulta em 1 (quociente) mais uma fração própria cuja ordem do numerador é menor que a do denominador. Isso simplifica bastante a integração.

Passo 3

Agora precisamos integrar
\int \left(1 + \frac{12}{x^{2}-9}\right)\,dx = \int 1\,dx + \int \frac{12}{x^{2}-9}\,dx.
Focamos na fração \dfrac{12}{x^{2}-9}. Como x^{2}-9=(x-3)(x+3) e os fatores são lineares distintos, usamos a decomposição em frações parciais:
\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) obtemos a identidade polinomial
12 = A(x+3)+B(x-3).

Passo 4

Para encontrar A e B usamos valores convenientes de x. Substituindo x=3:
12 = A(3+3)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 12 = 6A \quad\Rightarrow\quad A=2.
Substituindo x=-3:
12 = A(0)+B(-3-3)\quad\Rightarrow\quad 12 = -6B \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Portanto a decomposição é
\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{2}{x-3}-\frac{2}{x+3}.

Passo 5

Reescrevendo a integranda completa:
\frac{x^{2}+3}{x^{2}-9} = 1 + \frac{2}{x-3} - \frac{2}{x+3}.
Agora integramos termo a termo. Usamos as fórmulas básicas:
\int 1\,dx = x + C,
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
Aplicando com os coeficientes:
\int \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln|x-3| + C,
\int \left(-\frac{2}{x+3}\right)\,dx = -2\ln|x+3| + C.

Passo 6

Somando todas as parcelas (uma única constante de integração C ao final):
\int \frac{x^{2}+3}{x^{2}-9}\,dx = x + 2\ln|x-3| - 2\ln|x+3| + C.
Podemos usar a propriedade dos logaritmos a\ln u - a\ln v = a\ln\!\left|\dfrac{u}{v}\right| para simplificar:
x + 2\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right| + C.

Resposta

x + 2\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right| + C

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