Determine as integrais:
\int \frac{x{2}+3}{x{2}-9} d x
\int \frac{x{2}+3}{x{2}-9} d x
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais úteis:
portanto a função tem singularidades (pontos onde a função não está definida) em
e
. A integral é uma primitiva válida em intervalos que não cruzem esses pontos. Vamos realizar a integração algébricamente, passo a passo.
Passo 2
Primeira ideia prática: quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador numa função racional, convém dividir (ou reescrever) para separar uma parte polinomial e uma fração própria. Aqui fazemos uma manipulação simples:
porque
. Então a integranda fica
Explicação didática: essa etapa equivale à divisão polinomial que resulta em
(quociente) mais uma fração própria cuja ordem do numerador é menor que a do denominador. Isso simplifica bastante a integração.
Passo 3
Agora precisamos integrar
Focamos na fração
. Como
e os fatores são lineares distintos, usamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Para encontrar
e
usamos valores convenientes de
. Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto a decomposição é
Passo 5
Reescrevendo a integranda completa:
Agora integramos termo a termo. Usamos as fórmulas básicas:
Aplicando com os coeficientes:
Passo 6
Somando todas as parcelas (uma única constante de integração
ao final):
Podemos usar a propriedade dos logaritmos
para simplificar: