Determine as integrais:
\int \frac{3}{x^{3}-16 x} d x
\int \frac{3}{x^{3}-16 x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
ou seja o denominador é um produto de três fatores lineares distintos. O numerador é a constante
, então a função racional é própria (grau do numerador
menor que grau do denominador
).
Passo 2
Vamos decompor a função racional em soma de frações mais simples (frações parciais) porque o denominador fatorou em fatores lineares distintos. Ideia básica das frações parciais: quando temos uma função da forma
podemos escrever como soma de termos do tipo
. Cada termo é fácil de integrar pois
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Proponho a decomposição
onde
são constantes a determinar. Essa forma é apropriada porque os fatores do denominador são lineares e distintos.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Esta é uma igualdade de polinômios válida para todo
. Vamos encontrar
usando valores convenientes de
.
Passo 5
Escolhemos
nas raízes dos fatores para anular termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 6
Reescrevendo a integral com as frações encontradas:
Agora usamos a fórmula básica de integração:
porque a derivada de
é
(isso vem da regra da cadeia simples). Aplicando termo a termo:
Passo 7
Integramos cada parcela:
Somando e adicionando a constante de integração
,
Passo 8
Podemos também simplificar combinando os logaritmos. Fatorando
:
Usando propriedades dos logaritmos isso vira