Determine as integrais:
\int \frac{3}{x^{3}-16 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3}{x^{3}-16x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
x^{3}-16x = x(x^{2}-16)=x(x-4)(x+4),
ou seja o denominador é um produto de três fatores lineares distintos. O numerador é a constante (3), então a função racional é própria (grau do numerador =0 menor que grau do denominador =3).

Passo 2

Vamos decompor a função racional em soma de frações mais simples (frações parciais) porque o denominador fatorou em fatores lineares distintos. Ideia básica das frações parciais: quando temos uma função da forma
\frac{\text{polinômio de grau menor}}{(x-a)(x-b)(x-c)}ô
podemos escrever como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}+\dfrac{C}{x-c}. Cada termo é fácil de integrar pois \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Proponho a decomposição
\frac{3}{x(x-4)(x+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{x+4},
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa forma é apropriada porque os fatores do denominador são lineares e distintos.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x-4)(x+4) obtemos a identidade em x:
3 = A(x-4)(x+4) + Bx(x+4) + Cx(x-4).
Esta é uma igualdade de polinômios válida para todo x. Vamos encontrar A,B,C usando valores convenientes de x.

Passo 5

Escolhemos x nas raízes dos fatores para anular termos:
  • Para x=0:
3 = A(0-4)(0+4) = A(-4)(4) = -16A \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{3}{16}.
  • Para x=4:
3 = B\cdot 4 \cdot (4+4) = B\cdot 4 \cdot 8 = 32B \quad\Rightarrow\quad B = \frac{3}{32}.
  • Para x=-4:
3 = C\cdot (-4)\cdot(-4-0) = C\cdot (-4)\cdot(-8) = 32C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{3}{32}.
Portanto
A=-\frac{3}{16},\qquad B=\frac{3}{32},\qquad C=\frac{3}{32}.

Passo 6

Reescrevendo a integral com as frações encontradas:
\int \frac{3}{x^{3}-16x}\,dx = \int\left(-\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{x}+\frac{3}{32}\cdot\frac{1}{x-4}+\frac{3}{32}\cdot\frac{1}{x+4}\right)dx.
Agora usamos a fórmula básica de integração:
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a} (isso vem da regra da cadeia simples). Aplicando termo a termo:

Passo 7

Integramos cada parcela:
\int -\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{x}\,dx = -\frac{3}{16}\ln|x|,
\int \frac{3}{32}\cdot\frac{1}{x-4}\,dx = \frac{3}{32}\ln|x-4|,
\int \frac{3}{32}\cdot\frac{1}{x+4}\,dx = \frac{3}{32}\ln|x+4|.
Somando e adicionando a constante de integração C,
\int \frac{3}{x^{3}-16x}\,dx = -\frac{3}{16}\ln|x|+\frac{3}{32}\ln|x-4|+\frac{3}{32}\ln|x+4|+C.

Passo 8

Podemos também simplificar combinando os logaritmos. Fatorando \dfrac{3}{32}:
-\frac{3}{16}\ln|x|+\frac{3}{32}\ln|x-4|+\frac{3}{32}\ln|x+4| = \frac{3}{32}\bigl(-2\ln|x|+\ln|x-4|+\ln|x+4|\bigr).
Usando propriedades dos logaritmos isso vira
\frac{3}{32}\ln\left|\frac{(x-4)(x+4)}{x^{2}}\right| = \frac{3}{32}\ln\left|\frac{x^{2}-16}{x^{2}}\right|.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{32}\ln\left|\frac{x^{2}-16}{x^{2}}\right|+C

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