Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral0^1 e^raizxraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral integral0^1 e^raizxraizx , dx converge ou diverge. Esse tipo de problema está ligado ao estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o integrando (a função dentro da integral) pode ter descontinuidades ou comportamentos estranhos no intervalo de integração. Aqui, o possível problema está quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função e^raizxraizx pode ser problemática. Observamos que quando x = 0, o denominador raizx se aproxima de 0, o que pode causar uma descontinuidade na função. Por isso, essa integral é uma integral imprópria no ponto x = 0.

Passo 3

Para avaliar se essa integral converge ou diverge, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos deixar u = raizx. Assim, x = u^2 e, derivando ambos os lados, dx = 2u , du.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral0^1 e^raizxraizx , dx = integralu=0^u=1 e^uu times 2u , du = 2 integral0^1 e^u , du
Note que o u no denominador e o u no numerador se cancelam, simplificando bastante a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
2 integral0^1 e^u , du
Vamos integrar e^u em relação a u:
2 [ e^u ]0^1 = 2 (e^1 - e^0) = 2 (e - 1)

Resposta

A integral converge e seu valor é 2(e - 1).

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