Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
converge ou diverge. Esse tipo de problema está ligado ao estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o integrando (a função dentro da integral) pode ter descontinuidades ou comportamentos estranhos no intervalo de integração. Aqui, o possível problema está quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode ser problemática. Observamos que quando
, o denominador
se aproxima de 0, o que pode causar uma descontinuidade na função. Por isso, essa integral é uma integral imprópria no ponto
.
Passo 3
Para avaliar se essa integral converge ou diverge, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos deixar
. Assim,
e, derivando ambos os lados,
.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Note que o
no denominador e o
no numerador se cancelam, simplificando bastante a integral.
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Vamos integrar
em relação a
:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.