Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias, especialmente aquelas onde o integrando apresenta descontinuidades no intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função $ \frac{1}{1 - \cos x} $ pode ser problemática, ou seja, onde ela pode não ser contínua no intervalo de $ [0, \pi/2] $. Sabemos que $ \cos x = 1 $ quando $ x = 0 $. Assim, em $ x = 0 $:
Isso mostra que temos uma descontinuidade infinita em $ x = 0 $, tornando a integral imprópria.
Passo 3
Como há uma descontinuidade em $ x = 0 $, precisamos reescrever a integral como um limite quando $ x $ se aproxima de 0:
Esse limite nos ajudará a determinar se a integral converge (tende a um valor finito) ou diverge (tende ao infinito).
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função $ \frac{1}{1 - \cos x} $ perto de $ x = 0 $. Usando a expansão em série de Taylor para $ \cos x $ próximo de 0:
Portanto:
Isso significa que, perto de 0, a função se comporta aproximadamente como $ \frac{2}{x^2} $.
Passo 5
Com essa aproximação, substituímos na integral:
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x^2} $ é:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 6
Observando o limite:
À medida que $ a $ se aproxima de 0, $ \frac{2}{a} $ cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Portanto, o limite da integral também tende ao infinito.
Resposta
A integral diverge, ou seja, não possui um valor finito.