Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de integrais impróprias, que são integrais onde a função tem algum tipo de comportamento problemático, como descontinuidades ou limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem problemas. Vemos que quando
, o denominador se torna zero, o que faz a função não estar definida ali. Isso significa que temos uma descontinuidade em
. Como a integral vai de 0 até o infinito, precisamos dividir ela em duas partes para tratar essa descontinuidade:
- De
até - De
até
Passo 3
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.
Parte 1:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
. A integral fica:
A antiderivada de
é
. Avaliando de
a
, percebemos que quando
se aproxima de
,
vai para
. Isso indica que essa parte da integral diverge.
Parte 2:
Fazendo a mesma substituição
, a integral fica:
Novamente, a antiderivada é
. Quando
vai para
,
tende a
, mas na prática, essa integral também tende ao infinito, o que significa que essa parte também diverge.
Resposta
A integral diverge.