Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral0^infty 1(x-4)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral integral0^infty 1(x-4)^2 dx converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de integrais impróprias, que são integrais onde a função tem algum tipo de comportamento problemático, como descontinuidades ou limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função 1(x-4)^2 tem problemas. Vemos que quando x = 4, o denominador se torna zero, o que faz a função não estar definida ali. Isso significa que temos uma descontinuidade em x = 4. Como a integral vai de 0 até o infinito, precisamos dividir ela em duas partes para tratar essa descontinuidade:
  1. De 0 até 4
  2. De 4 até infty

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte separadamente.
Parte 1: integral0^4 1(x-4)^2 dx
Fazendo uma substituição simples, deixe u = x - 4, então du = dx. A integral fica:
integral-4^0 1u^2 du
A antiderivada de 1u^2 é -1u. Avaliando de -4 a 0, percebemos que quando u se aproxima de 0, -1u vai para -infty. Isso indica que essa parte da integral diverge.
Parte 2: integral4^infty 1(x-4)^2 dx
Fazendo a mesma substituição u = x - 4, a integral fica:
integral0^infty 1u^2 du
Novamente, a antiderivada é -1u. Quando u vai para infty, -1u tende a 0, mas na prática, essa integral também tende ao infinito, o que significa que essa parte também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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