Determine as integrais a seguir, encontrando o método mais adequado para resolver:
\int \frac{\cos ^{3} x}{\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{\cos^{3}x}{\sin x}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de integração com identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{3}x = \cos^{2}x\;\cos x = \bigl(1 - \sin^{2}x\bigr)\cos x,
de modo que
\frac{\cos^{3}x}{\sin x} = \frac{\bigl(1 - \sin^{2}x\bigr)\cos x}{\sin x}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx.
A integral torna-se
\int \frac{1 - u^{2}}{u}\,du = \int\!\bigl(\tfrac{1}{u} - u\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl\lvert u\bigr\rvert, \qquad \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}.
Logo
\int\!\bigl(\tfrac{1}{u} - u\bigr)\,du = \ln\bigl\lvert u\bigr\rvert - \frac{u^{2}}{2} + C.
Voltando a x, u=\sin x.

Resposta

\ln\bigl\lvert \sin x\bigr\rvert \;-\;\frac{\sin^{2}x}{2} + C.

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