Determine as integrais a seguir, encontrando o método mais adequado para resolver:
\int \frac{1}{1-\cos x} d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{1 - \cos x}\,dx.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas; vamos usar a identidade de ângulo metade e uma substituição simples.

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo metade
1 - \cos x = 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
de onde
\frac{1}{1 - \cos x} = \frac{1}{2\,\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac{1}{2}\,\csc^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
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\int \frac{1}{1-\cos x}\,dx = \frac{1}{2}\int \csc^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \tfrac{x}{2}, \quad du = \tfrac{1}{2}\,dx \;\Longrightarrow\; dx = 2\,du.
Então
\frac{1}{2}\int \csc^2(u)\,(2\,du) = \int \csc^2(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(-\cot u\bigr) = \csc^2 u,
portanto
\int \csc^2(u)\,du = -\cot u + C.

Passo 5

Voltando a x (onde u = \tfrac{x}{2}) obtemos
\int \frac{1}{1 - \cos x}\,dx = -\cot\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

-\cot\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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