Determine as integrais a seguir, encontrando o método mais adequado para resolver:
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}+9}}\;dx
Usaremos uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada e o fator 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\tan\theta, \qquad dx = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}+9} = \sqrt{9\tan^{2}\theta +9} = 3\operatorname{sec}\theta.
Substituindo na integral,
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}+9}}\,dx =\int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\bigl(3\tan\theta\bigr)\bigl(3\operatorname{sec}\theta\bigr)} =\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{3\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta}\,d\theta =\frac{1}{3}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta.

Passo 3

Observamos que
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta} =\frac{1/\cos\theta}{\sin\theta/\cos\theta} =\frac{1}{\sin\theta} =\csc\theta.
Portanto a integral ficou
\frac{1}{3}\int \csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \csc\theta\,d\theta =-\ln\bigl|\csc\theta+\cot\theta\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{3}\int \csc\theta\,d\theta =-\frac{1}{3}\ln\bigl|\csc\theta+\cot\theta\bigr| + C.

Passo 5

Volta à variável x. Da substituição x=3\tan\theta temos o triângulo com catetos \text{oposto}=x, \text{adjacente}=3 e hipotenusa \sqrt{x^{2}+9}. Assim
\csc\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}, \qquad \cot\theta = \frac{3}{x}.
Logo
\csc\theta+\cot\theta =\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}+\frac{3}{x} =\frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{x}.
Substituindo,
-\frac{1}{3}\ln\bigl|\csc\theta+\cot\theta\bigr| =-\frac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{x}\Bigr| + C.

Passo 6

Podemos reescrever a constante para obter forma mais compacta:
-\frac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{x}\Bigr| =\frac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}+3}\Bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}+9}}\,dx =\frac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}+3}\Bigr| + C.

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