Determine as integrais a seguir, encontrando o método mais adequado para resolver:
\int \frac{x^{7}}{\left(1-x^{4}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{7}}{\bigl(1 - x^{4}\bigr)^{2}}\,dx
O conteúdo envolve escolher um método adequado: aqui vamos usar uma combinação de decomposição algébrica do numerador e substituição u-substituição, já que a derivada de 1 - x^{4} é proporcional a x^{3}.

Passo 2

Observamos que
x^{7} = x^{3}\,x^{4} = x^{3}\bigl[1 - (1 - x^{4})\bigr] = x^{3} - x^{3}\,(1 - x^{4}).
Logo,
\frac{x^{7}}{(1 - x^{4})^{2}} = \frac{x^{3}}{(1 - x^{4})^{2}} - \frac{x^{3}}{1 - x^{4}}.
Dessa forma a integral se separa em
\int \frac{x^{3}}{(1 - x^{4})^{2}}\,dx \;-\; \int \frac{x^{3}}{1 - x^{4}}\,dx.

Passo 3

Em ambas as integrais fazemos a substituição
u = 1 - x^{4}, \quad du = -4x^{3}\,dx \;\Longrightarrow\; x^{3}\,dx = -\tfrac{1}{4}\,du.
Então
\int \frac{x^{3}}{(1 - x^{4})^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{4}\int u^{-2}\,du = -\tfrac{1}{4}\bigl(-u^{-1}\bigr) = \frac{1}{4\,u} = \frac{1}{4\,(1 - x^{4})},
e
\int \frac{x^{3}}{1 - x^{4}}\,dx = -\tfrac{1}{4}\int u^{-1}\,du = -\tfrac{1}{4}\ln\lvert u\rvert = -\tfrac{1}{4}\ln\lvert1 - x^{4}\rvert.

Passo 4

Substituindo de volta e lembrando do sinal na separação, obtemos
\int \frac{x^{7}}{(1 - x^{4})^{2}}\,dx = \frac{1}{4\,(1 - x^{4})} \;-\; \Bigl(-\tfrac{1}{4}\ln\lvert1 - x^{4}\rvert\Bigr) + C = \frac{1}{4\,(1 - x^{4})} + \frac{1}{4}\ln\bigl\lvert1 - x^{4}\bigr\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{4\,(1 - x^{4})} + \frac{1}{4}\ln\bigl\lvert1 - x^{4}\bigr\rvert + C.

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