Resolva usando frações parciais:
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}-1}{\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)^{2}}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo aqui envolve decomposição em frações parciais para quadrático irreduzível repetido e, em seguida, integrações padrão (arctan e substituições).

Passo 2

Como o denominador é \bigl(x^{2}+2x+3\bigr)^{2} e x^{2}+2x+3 não fatora em racionais, escrevemos
\frac{x^{2}-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}} =\frac{Ax+B}{x^{2}+2x+3}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2x+3)^{2}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+2x+3)^{2}, obtemos
x^{2}-1=(Ax+B)(x^{2}+2x+3)+(Cx+D).
Expandindo e igualando coeficientes em x^{3},x^{2},x,1 dá o sistema
\begin{cases} A=0,\\\\ 2A+B=1,\\\\ 3A+2B+C=0,\\\\ 3B+D=-1. \end{cases}
Logo
A=0,\quad B=1,\quad C=-2,\quad D=-4.

Passo 4

Substituindo em cada fração, a integral fica
\int\frac{1}{x^{2}+2x+3}\,dx \;-\;\int\frac{2x+4}{(x^{2}+2x+3)^{2}}\,dx.
Para simplificar, faça t=x+1, assim x^{2}+2x+3=t^{2}+2 e 2x+4=2(t+1)=2t+2, com dt=dx.

Passo 5

A primeira parte é
\int\frac{1}{t^{2}+2}\,dt =\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 6

A segunda parte é
\int\frac{2t+2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt =\int\frac{2t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt +\int\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
Para a primeira integral use u=t^{2}+2, du=2t\,dt, obtendo
\int\frac{2t}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt =\int u^{-2}\,du =-\frac{1}{t^{2}+2}.
Para a segunda, use a fórmula padrão
\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{t}{2a^{2}(t^{2}+a^{2})} +\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr),
com a=\sqrt{2}. Assim
\int\frac{2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt =\frac{t}{2(t^{2}+2)}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 7

Somando as duas parcelas da segunda parte resulta
-\frac{1}{t^{2}+2} +\frac{t}{2(t^{2}+2)} +\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr) =\frac{t-2}{2(t^{2}+2)} +\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 8

Agora combinamos tudo:
\int\frac{x^{2}-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}}\,dx =\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr) -\Bigl[\frac{t-2}{2(t^{2}+2)}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr]+C.
Isso simplifica para
\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr) +\frac{2-t}{2(t^{2}+2)}+C.
Por fim, volte a t=x+1.

Resposta

\int \frac{x^{2}-1}{\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)^{2}}\,dx =\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Bigr) +\frac{1-x}{2\bigl((x+1)^{2}+2\bigr)} +C.

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