Resolva usando frações parciais:
\int \frac{1}{x^{4}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x^4-1}\,dx
usando frações parciais. Aqui o conteúdo é integração por frações parciais: a ideia é fatorar o denominador, decompor a fração e depois integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^4 -1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1).
Então propomos a decomposição
\frac{1}{x^4 -1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}.

Passo 3

Para descobrir A e B, multiplicamos tudo por x^4-1 e avaliamos em x=1 e x=-1:
Para x=1:
1 = A\,(1+1)\,(1^2+1) \implies A = \tfrac14.
Para x=-1:
1 = B\,(-1-1)\,((-1)^2+1) \implies B = -\tfrac14.

Passo 4

Agora precisamos de C e D. Multiplicamos de novo por x^4-1 e comparamos coeficientes em
1 = A(x+1)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-1).
Fazendo a expansão e igualando coeficientes de x^3,x^2,x,1, chega-se a
C = 0, \quad D = -\tfrac12.

Passo 5

Substituindo A,B,C,D na decomposição, temos
\frac{1}{x^4 -1} = \frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+1} - \frac{1/2}{x^2+1}.

Passo 6

Agora integramos cada pedacinho:
\int \frac{1/4}{x-1}\,dx = \tfrac14\ln\lvert x-1\rvert, \quad \int -\frac{1/4}{x+1}\,dx = -\tfrac14\ln\lvert x+1\rvert, \quad \int -\frac{1/2}{x^2+1}\,dx = -\tfrac12\arctan(x).
Somando tudo, obtemos a antiderivada.

Resposta

\int \frac{1}{x^4-1}\,dx = \frac14 \ln\Bigl\lvert\frac{x-1}{x+1}\Bigr\rvert - \frac12 \arctan(x) + C.

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