Determine as integrais (substituição trigonométrica):
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva
sob a condição
. Informações importantes dadas:
- A integral é indefinida (procura-se a antiderivada).
- O integrando contém a expressão
. - Foi pedido usar substituição trigonométrica.
Não vamos resolver ainda; apenas registrei o que é pedido e as condições.
Passo 2
Motivação da escolha da substituição trigonométrica e definição:
- Quando aparece
é natural usar a substituição , porque simplifica bem a raiz. - Para manter coerência com
escolhemos (neste intervalo e ).
Definimos
Derivando, obtemos
Passo 3
Calcular
e a potência
em termos de
:
então
(Aqui usei que, no intervalo escolhido,
, então
.)
Passo 4
Substituir tudo na integral e simplificar passo a passo:
Agora escrevemos
e
, então
Logo a integral fica
Passo 5
Resolver a integral em
por substituição simples:
faça . Então
. A integral transforma-se em
faça
Integrando,
Voltando a
,
Passo 6
Retornar a variável
. Usando
temos
. Assim
onde tomei a raiz positiva porque
implica
. Portanto
Concluímos que a primitiva é
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar mais seguro): derivando
,
o que coincide com o integrando; logo a antiderivada está correta.