Determine as integrais (substituição trigonométrica):
\int \frac{d x}{\left(x^{2}-1\right)^{3 / 2}}, x>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{dx}{\left(x^{2}-1\right)^{3/2}},
sob a condição x>1. Informações importantes dadas:
  • A integral é indefinida (procura-se a antiderivada).
  • O integrando contém a expressão \left(x^{2}-1\right)^{3/2}.
  • Foi pedido usar substituição trigonométrica.
    Não vamos resolver ainda; apenas registrei o que é pedido e as condições.

Passo 2

Motivação da escolha da substituição trigonométrica e definição:
  • Quando aparece x^{2}-1 é natural usar a substituição x=\operatorname{sec}\theta, porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta simplifica bem a raiz.
  • Para manter coerência com x>1 escolhemos 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} (neste intervalo \operatorname{sec}\theta>1 e \cos\theta>0).
    Definimos
x=\operatorname{sec}\theta.
Derivando, obtemos
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Calcular x^{2}-1 e a potência (x^{2}-1)^{3/2} em termos de \theta:
x^{2}-1=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta,
então
\left(x^{2}-1\right)^{3/2}=\left(\tan^{2}\theta\right)^{3/2}=\tan^{3}\theta.
(Aqui usei que, no intervalo escolhido, \tan\theta\ge 0, então (\tan^{2}\theta)^{3/2}=\tan^{3}\theta.)

Passo 4

Substituir tudo na integral e simplificar passo a passo:
\int \frac{dx}{\left(x^{2}-1\right)^{3/2}} =\int \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\tan^{3}\theta} =\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Agora escrevemos \tan^{2}\theta=\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} e \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, então
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} =\frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} =\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
Logo a integral fica
\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 5

Resolver a integral em \theta por substituição simples:
faça u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. A integral transforma-se em
\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta=\int \frac{1}{u^{2}}\,du=\int u^{-2}\,du.
Integrando,
\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C.
Voltando a \theta,
-\frac{1}{u}=-\frac{1}{\sin\theta}+C.

Passo 6

Retornar a variável x. Usando x=\operatorname{sec}\theta temos \cos\theta=\dfrac{1}{x}. Assim
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta} =\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x},
onde tomei a raiz positiva porque 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} implica \sin\theta>0. Portanto
-\frac{1}{\sin\theta}=-\frac{1}{\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}}=-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Concluímos que a primitiva é
-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar mais seguro): derivando F(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}},
F'(x)= -\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} - x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}-1)^{-3/2}\cdot 2x = \frac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}},
o que coincide com o integrando; logo a antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C

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