que aparece no numerador. Logo, fazendo a substituição w=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta temos dw=(\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta e
Lembrando que pela substituição fizemos \tan\theta=3y.
E \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+9y^{2}}.
Substituindo em \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C obtemos
\ln\bigl|\sqrt{1+9y^{2}}+3y\bigr|+C.
Passo 6
Observações finais e incentivo:
Note que a expressão dentro do log precisa de valor absoluto por segurança matemática; no entanto \sqrt{1+9y^{2}}\ge0 e a forma \sqrt{1+9y^{2}}+3y é a forma usual da primitiva.
Parabéns! Seguindo a substituição trigonométrica e a identidade 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta chegamos à primitiva de forma direta. Continue praticando esse padrão: quando aparecer \sqrt{a^{2}+x^{2}} pense em x=a\tan\theta.