Determine as integrais (substituição trigonométrica):
\int \frac{3 d y}{\sqrt{1+9 y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3\,dy}{\sqrt{1+9y^{2}}}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A função a integrar é \dfrac{3}{\sqrt{1+9y^{2}}}.
  • Queremos encontrar uma primitiva (a integral indefinida) em termos de y.
  • O enunciado sugere usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Motivação da substituição trigonométrica e escolha:
  • Repare que no denominador aparece \sqrt{1+9y^{2}}. Isso lembra a identidade trigonométrica
1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Para aproveitar essa identidade, fazemos a substituição
3y=\tan\theta \quad\text{ou seja}\quad y=\frac{1}{3}\tan\theta.
  • Agora calculemos dy. Derivando y=\frac{1}{3}\tan\theta em relação a \theta obtemos
dy=\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Transformação completa do integrando com a substituição:
  • O numerador fica
3\,dy = 3\cdot\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • O denominador fica, usando 3y=\tan\theta,
\sqrt{1+9y^{2}}=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta,
pois \operatorname{sec}\theta\ge0 quando \theta é escolhido no ramo apropriado (podemos trabalhar com módulo depois).
  • Portanto a integral em \theta é
\int \frac{3\,dy}{\sqrt{1+9y^{2}}}=\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}\theta}=\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta (uma pequena aula):
  • Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}\theta\cdot\frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
  • Observe que a derivada de \operatorname{sec}\theta+\tan\theta é
\frac{d}{d\theta}\bigl(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta,
que aparece no numerador. Logo, fazendo a substituição w=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta temos dw=(\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta e
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{dw}{w} = \ln|w|+C = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.

Passo 5

Voltando para a variável y:
  • Lembrando que pela substituição fizemos \tan\theta=3y.
  • E \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+9y^{2}}.
  • Substituindo em \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C obtemos
\ln\bigl|\sqrt{1+9y^{2}}+3y\bigr|+C.

Passo 6

Observações finais e incentivo:
  • Note que a expressão dentro do log precisa de valor absoluto por segurança matemática; no entanto \sqrt{1+9y^{2}}\ge0 e a forma \sqrt{1+9y^{2}}+3y é a forma usual da primitiva.
  • Parabéns! Seguindo a substituição trigonométrica e a identidade 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta chegamos à primitiva de forma direta. Continue praticando esse padrão: quando aparecer \sqrt{a^{2}+x^{2}} pense em x=a\tan\theta.

Resposta

\ln\bigl|\sqrt{1+9y^{2}}+3y\bigr|+C

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