Determine as integrais (substituição trigonométrica):
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas relevantes:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Não há limites (é uma primitiva indefinida), então precisamos encontrar uma função
tal que . - O enunciado pede usar substituição trigonométrica (veja que aparece
com ).
Passo 2
Ideia da substituição trigonométrica (mini-aula): quando aparece
costuma ser útil usar a substituição
porque a identidade trigonométrica
transforma a raiz numa função simples:
Aqui temos
, logo
. Então vamos usar
. Também precisamos da diferencial
, que vem de derivar
em relação a
.
Passo 3
Fazendo a substituição
:
Também computamos
:
Passo 4
Substituímos tudo na integral original:
Agora simplificamos fatores numéricos e trigonométricos:
Portanto a integral fica
Passo 5
Para integrar
convém escrever
e usar
:
Assim
Passo 6
Agora fazemos a substituição auxiliar
. Então
Reescrevendo a integral em
:
Integramos em
:
Passo 7
Voltando para
usando
:
Agora voltamos para
. Da substituição
temos
Calculamos
:
Substituindo em
:
Podemos também factorar
:
Passo 8
Verificação rápida (mini-checagem): derivando
usando regra da cadeia obtemos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.