Determine as integrais (substituição trigonométrica):
\int \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2}+4}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Informações dadas relevantes:
  • O numerador é x^{3}.
  • O denominador é \sqrt{x^{2}+4}.
  • Não há limites (é uma primitiva indefinida), então precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+4}}.
  • O enunciado pede usar substituição trigonométrica (veja que aparece \sqrt{x^{2}+a^{2}} com a^{2}=4).

Passo 2

Ideia da substituição trigonométrica (mini-aula): quando aparece \sqrt{x^{2}+a^{2}} costuma ser útil usar a substituição
x = a \tan\theta,
porque a identidade trigonométrica \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta transforma a raiz numa função simples:
\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}}=a\operatorname{sec}\theta.
Aqui temos a^{2}=4, logo a=2. Então vamos usar x=2\tan\theta. Também precisamos da diferencial dx, que vem de derivar x em relação a \theta.

Passo 3

Fazendo a substituição x=2\tan\theta:
dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}+4} = 2\operatorname{sec}\theta.
Também computamos x^{3}:
x^{3} = (2\tan\theta)^{3} = 8\tan^{3}\theta.

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = \int \frac{8\tan^{3}\theta \cdot 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{2\operatorname{sec}\theta}.
Agora simplificamos fatores numéricos e trigonométricos:
\frac{8\tan^{3}\theta \cdot 2\operatorname{sec}^{2}\theta}{2\operatorname{sec}\theta} =8\,\tan^{3}\theta\,\operatorname{sec}\theta.
Portanto a integral fica
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 8\int \tan^{3}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \tan^{3}\theta\,\operatorname{sec}\theta convém escrever \tan^{3}\theta=\tan^{2}\theta\cdot\tan\theta e usar \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1:
\tan^{3}\theta\,\operatorname{sec}\theta = (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta\cdot(\tan\theta\operatorname{sec}\theta) - (\tan\theta\operatorname{sec}\theta).
Assim
8\int \tan^{3}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta =8\int \big(\operatorname{sec}^{2}\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta) - (\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\big)\,d\theta.

Passo 6

Agora fazemos a substituição auxiliar u=\operatorname{sec}\theta. Então
du = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Reescrevendo a integral em u:
8\int \big(\operatorname{sec}^{2}\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta) - (\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\big)\,d\theta =8\int \big(u^{2}\,du - du\big) =8\int (u^{2}-1)\,du.
Integramos em u:
8\left(\frac{u^{3}}{3}-u\right)+C =\frac{8}{3}u^{3}-8u + C.

Passo 7

Voltando para \theta usando u=\operatorname{sec}\theta:
\frac{8}{3}\operatorname{sec}^{3}\theta - 8\operatorname{sec}\theta + C.
Agora voltamos para x. Da substituição x=2\tan\theta temos
\operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{x^{2}+4}{4}}=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Calculamos \operatorname{sec}^{3}\theta:
\operatorname{sec}^{3}\theta=\left(\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}\right)^{3}=\frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{8}.
Substituindo em \frac{8}{3}\operatorname{sec}^{3}\theta - 8\operatorname{sec}\theta:
\frac{8}{3}\cdot\frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{8} - 8\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2} + C = \frac{1}{3}(x^{2}+4)^{3/2} -4(x^{2}+4)^{1/2} + C.
Podemos também factorar (x^{2}+4)^{1/2}:
\frac{1}{3}(x^{2}+4)^{3/2} -4(x^{2}+4)^{1/2} = \frac{1}{3}(x^{2}-8)\sqrt{x^{2}+4} + C.

Passo 8

Verificação rápida (mini-checagem): derivando
F(x)=\frac{1}{3}(x^{2}+4)^{3/2}-4(x^{2}+4)^{1/2}
usando regra da cadeia obtemos
F'(x) = x(x^{2}+4)^{1/2} - 4x(x^{2}+4)^{-1/2} = \frac{x\big((x^{2}+4)-4\big)}{\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+4}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}(x^{2}+4)^{3/2}-4(x^{2}+4)^{1/2}+C

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