Determine se a integral dada converge ou diverge.
\int_{1}^{\infty} t^{-2} e^{t} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} t^{-2} e^{t}\,dt
converge ou diverge.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é t^{-2}e^{t}. Para t\ge 1 temos t^{-2}>0 e e^{t}>0, portanto a função é positiva no intervalo de integração.
  • A integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A pergunta é apenas sobre convergência ou divergência (seu comportamento quando o limite superior tende a infinito).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste da comparação para integrais impróprias com funções positivas. Explico o teste com calma.
Teste da comparação (versão usada aqui): sejam f e g funções contínuas e não negativas em [a,\infty). Se existir T\ge a tal que f(t)\ge g(t)\ge 0 para todo t\ge T e se
\int_{T}^{\infty} g(t)\,dt = \infty,
então
\int_{a}^{\infty} f(t)\,dt = \infty
(isto é, a integral de f também diverge). A ideia: comparar com uma função mais simples cuja integral seja conhecida e divergente.

Passo 3

Procurar uma função simples g(t) com integral divergente e que possa ser comparada com f(t)=t^{-2}e^{t}. Uma boa escolha é uma exponencial do tipo e^{t/2}, porque exponenciais crescem rápido e suas integrais no infinito divergem.
Preciso mostrar que existe T tal que, para t\ge T,
t^{-2}e^{t} \ge e^{t/2}.
Isso é equivalente a
\frac{e^{t/2}}{t^{2}} \ge 1\quad\text{ou}\quad e^{t/2}\ge t^{2}.
Defino a função
h(t)=\frac{t}{2}-2\ln t.
Note que e^{t/2}\ge t^{2} é equivalente a h(t)\ge 0 (pois e^{t/2}\ge t^{2}\iff t/2 \ge 2\ln t).
Calculo a derivada:
h'(t)=\frac{1}{2}-\frac{2}{t}.
Para t\ge 4 temos h'(t)\ge \tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{4}=0, portanto h é crescente em [4,\infty). Basta verificar h em um valor concreto maior que 4 para garantir positividade a partir daí. Avalio em t=9:
h(9)=\frac{9}{2}-2\ln 9=4{,}5-2\ln 9.
Como \ln 9=2\ln 3\approx 2\cdot1{,}098612\approx 2{,}197224, então
h(9)\approx 4{,}5-2\cdot2{,}197224=4{,}5-4{,}394448\approx 0{,}105552>0.
Como h é crescente em [4,\infty) e h(9)>0, concluímos que h(t)\ge 0 para todo t\ge 9. Logo, para t\ge 9,
e^{t/2}\ge t^{2},
e portanto
t^{-2}e^{t} \ge e^{t/2}.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação: para t\ge 9 temos t^{-2}e^{t}\ge e^{t/2}\ge 0. Agora avalio a integral da função comparadora g(t)=e^{t/2}:
Calculo primitiva:
\int e^{t/2}\,dt = 2 e^{t/2} + C.
Assim
\int_{9}^{R} e^{t/2}\,dt = 2\bigl(e^{R/2}-e^{9/2}\bigr).
Quando R\to\infty a quantidade e^{R/2}\to\infty, logo
\int_{9}^{\infty} e^{t/2}\,dt = \infty.

Passo 5

Concluindo pela comparação: como para t\ge 9 vale t^{-2}e^{t}\ge e^{t/2} e como \int_{9}^{\infty} e^{t/2}\,dt=\infty, segue que
\int_{1}^{\infty} t^{-2}e^{t}\,dt \ge \int_{9}^{\infty} t^{-2}e^{t}\,dt \ge \int_{9}^{\infty} e^{t/2}\,dt = \infty.
Portanto a integral original diverge. (Alternativamente, nota-se também que a função t^{-2}e^{t} cresce exponencialmente e a primitiva por partes gera termos do tipo e^{t}/t^{2} que não se anulam no limite, indicando divergência para +\infty.)

Resposta

A integral diverge (diverge para +\infty).

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