Determine se a integral dada converge ou diverge.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
converge ou diverge.
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. Para temos e , portanto a função é positiva no intervalo de integração. - A integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
- A pergunta é apenas sobre convergência ou divergência (seu comportamento quando o limite superior tende a infinito).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste da comparação para integrais impróprias com funções positivas. Explico o teste com calma.
Teste da comparação (versão usada aqui): sejam
e
funções contínuas e não negativas em
. Se existir
tal que
para todo
e se
então
(isto é, a integral de
também diverge). A ideia: comparar com uma função mais simples cuja integral seja conhecida e divergente.
Passo 3
Procurar uma função simples
com integral divergente e que possa ser comparada com
. Uma boa escolha é uma exponencial do tipo
, porque exponenciais crescem rápido e suas integrais no infinito divergem.
Preciso mostrar que existe
tal que, para
,
Isso é equivalente a
Defino a função
Note que
é equivalente a
(pois
).
Calculo a derivada:
Para
temos
, portanto
é crescente em
. Basta verificar
em um valor concreto maior que 4 para garantir positividade a partir daí. Avalio em
:
Como
, então
Como
é crescente em
e
, concluímos que
para todo
. Logo, para
,
e portanto
Passo 4
Aplicando o teste da comparação: para
temos
. Agora avalio a integral da função comparadora
:
Calculo primitiva:
Assim
Quando
a quantidade
, logo
Passo 5
Concluindo pela comparação: como para
vale
e como
, segue que
Portanto a integral original diverge. (Alternativamente, nota-se também que a função
cresce exponencialmente e a primitiva por partes gera termos do tipo
que não se anulam no limite, indicando divergência para
.)
Resposta
A integral diverge (diverge para
).