Determine a integral ∫ C ( x d x + y d y + z d z ) com C definida pela equação paramétrica γ ( t ) = ( 2 t 2 , t 3 , t ) com 0 ≤ t ≤1. Considere a orientação do percurso no sentido de crescimento do parâmetro t.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral de linha
, onde
é uma curva definida pela equação paramétrica
para
entre 0 e 1. O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais de linha usando parametrizações. Vamos precisar conhecer como parametrizar a curva e como substituir na integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
,
e
em termos do parâmetro
. A curva está parametrizada por:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
, ou seja,
,
e
:
Passo 4
A integral de linha
pode ser reescrita em termos do parâmetro
assim:
Passo 5
Substituindo
,
,
e suas derivadas na integral, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Resposta
A integral vale
.