Determine a integral ∫ C ( x d x + y d y + z d z ) com C definida pela equação paramétrica γ ( t ) = ( 2 t 2 , t 3 , t ) com 0 ≤ t ≤1. Considere a orientação do percurso no sentido de crescimento do parâmetro t.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral de linha integralC (x , dx + y , dy + z , dz), onde C é uma curva definida pela equação paramétrica gamma(t) = (2t^2, t^3, t) para t entre 0 e 1. O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais de linha usando parametrizações. Vamos precisar conhecer como parametrizar a curva e como substituir na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x, y e z em termos do parâmetro t. A curva está parametrizada por:
gamma(t) = (2t^2, t^3, t)
Então, temos:
x(t) = 2t^2, y(t) = t^3, z(t) = t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x, y e z em relação a t, ou seja, dx/dt, dy/dt e dz/dt:
dxdt = 4t, dydt = 3t^2, dzdt = 1

Passo 4

A integral de linha integralC (x , dx + y , dy + z , dz) pode ser reescrita em termos do parâmetro t assim:
integralt=0^t=1 [x(t) cdot dxdt + y(t) cdot dydt + z(t) cdot dzdt] , dt

Passo 5

Substituindo x(t), y(t), z(t) e suas derivadas na integral, temos:
integral0^1 [2t^2 cdot 4t + t^3 cdot 3t^2 + t cdot 1] , dt
Simplificando cada termo:
= integral0^1 [8t^3 + 3t^5 + t] , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 8t^3 , dt = 8 cdot t^44 = 2t^4
integral 3t^5 , dt = 3 cdot t^66 = t^62
integral t , dt = t^22
Então, a integral fica:
2t^4 + t^62 + t^22 avaliada de 0 a 1

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Para t = 1:
2(1)^4 + (1)^62 + (1)^22 = 2 + 12 + 12 = 3
Para t = 0:
2(0)^4 + (0)^62 + (0)^22 = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

A integral vale 3.

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