Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x)=2(1-x) para 0≤x≤1. f(x)=0, caso contrário. Seja Y=6X+1. Obtenha a variância de Y. 2 3 0,5 4 9
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função densidade de probabilidade $ f(x) = 2(1 - x) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário. Queremos encontrar a variância de $ Y = 6X + 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de estatística como valor esperado e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é tipo a “média” da variável aleatória e é calculado pela integral de $ x $ vezes a função densidade. Ou seja:
Vamos resolver essa integral.
Passo 3
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é a expectativa de $ X^2 $:
Vamos resolver essa integral também.
Passo 5
Expandindo a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Com $ E(X) $ e $ E(X^2) $ em mãos, podemos calcular a variância de $ X $:
Passo 7
Sabemos que se $ Y = aX + b $, então $ Var(Y) = a^2 Var(X) $. No nosso caso, $ a = 6 $ e $ b = 1 $, então:
Resposta
A variância de $ Y $ é igual a 2.