Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x)=2(1-x) para 0≤x≤1. f(x)=0, caso contrário. Seja Y=6X+1. Obtenha a variância de Y. 2 3 0,5 4 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função densidade de probabilidade $ f(x) = 2(1 - x) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário. Queremos encontrar a variância de $ Y = 6X + 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de estatística como valor esperado e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é tipo a “média” da variável aleatória e é calculado pela integral de $ x $ vezes a função densidade. Ou seja:
E(X)
Vamos resolver essa integral.

Passo 3

Expandindo a expressão dentro da integral:
E(X) = 2 integral0^1 (x - x^2) , dx
Agora, integramos termo a termo:
E(X) = 2 [ 12x^2 - 13x^3 ]0^1 = 2 ( 12 - 13 ) = 2 cdot 16 = 13

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é a expectativa de $ X^2 $:
E(X^2)
Vamos resolver essa integral também.

Passo 5

Expandindo a expressão dentro da integral:
E(X^2) = 2 integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Integrando termo a termo:
E(X^2) = 2 [ 13x^3 - 14x^4 ]0^1 = 2 ( 13 - 14 ) = 2 cdot 112 = 16

Passo 6

Com $ E(X) $ e $ E(X^2) $ em mãos, podemos calcular a variância de $ X $:
E(X)

Passo 7

Sabemos que se $ Y = aX + b $, então $ Var(Y) = a^2 Var(X) $. No nosso caso, $ a = 6 $ e $ b = 1 $, então:
Y = aX + b

Resposta

A variância de $ Y $ é igual a 2.

Exercícios relacionados