1. Determine a integral \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde R é região delimitada pelos círculos x^{2}+y^{2}= 1 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA, onde R é a região limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=9.\n
Informações dadas:
  • A função a integrar é e^{x^{2}+y^{2}}.\n
  • A região R é o anel (região anular) compreendido entre os círculos de raio 1 e raio 3 (porque x^{2}+y^{2}=1 dá raio 1 e x^{2}+y^{2}=9 dá raio 3).\n
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico exato da integral dupla \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares aqui (explicação didática):\n
  • A integranda depende só de x^{2}+y^{2}, que em coordenadas polares é simplesmente r^{2}. Isso simplifica muito a expressão.\n
  • A região R é um anel circular centrado na origem, e em polares os limites radiais ficam simples (constantes).\n
    Definição das coordenadas polares e do elemento de área (aula curta):\n
  • Em coordenadas polares fazemos \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta, onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo.\n
  • O elemento de área diferencial em cartesianas dA transforma-se em polares como dA = r\, dr\, d\theta. Vou justificar esse fator r: considere a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Esse determinante é o fator de escala que transforma dr\,d\theta em dA, por isso dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração em coordenadas polares:\n
  • Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, as curvas \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=9 correspondem a r=1 e r=3.\n
  • O anel inteiro ao redor da origem tem \theta variando de 0 até 2\pi.\n
    Portanto a região R em polares é \{(r,\theta)\mid 1\le r\le 3,\;0\le\theta\le 2\pi\}.

Passo 4

Transformar a integranda e escrever a integral em polares:\n
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral vira
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\, r\, dr\, d\theta.
Observe que agora a integral separa-se: a parte em r e a parte em \theta são independentes.

Passo 5

Calcular a integral interna em r (passo a passo da primitiva):\n
  • Considere a integral interna \int_{1}^{3} e^{r^{2}}\, r\, dr.\n
  • Faça a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{2}.\n
  • Em termos de u, os limites ficam: quando r=1 temos u=1^{2}=1; quando r=3 temos u=3^{2}=9.\n
  • A integral transforma-se em
\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\, r\, dr = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=9} e^{u}\, du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{9} = \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{1}\bigr).

Passo 6

Integrar em \theta e obter o resultado final:\n
  • Agora a integral completa é
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\right) d\theta.
  • Como o integrando é constante em \theta, multiplicamos pela medida do intervalo de \theta, que é 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\, d\theta = \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\cdot 2\pi = \pi\bigl(e^{9}-e\bigr).

Resposta

\pi\bigl(e^{9}-e\bigr)

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