- Determine a integral
, onde
é região delimitada pelos círculos
1 e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pelos círculos
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
.\n - A região
é o anel (região anular) compreendido entre os círculos de raio e raio (porque dá raio e dá raio ).\n
O que se pede: - Calcular o valor numérico exato da integral dupla
.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares aqui (explicação didática):\n
- A integranda depende só de
, que em coordenadas polares é simplesmente . Isso simplifica muito a expressão.\n - A região
é um anel circular centrado na origem, e em polares os limites radiais ficam simples (constantes).\n
Definição das coordenadas polares e do elemento de área (aula curta):\n - Em coordenadas polares fazemos
e , onde é a distância ao origem e é o ângulo.\n - O elemento de área diferencial em cartesianas
transforma-se em polares como . Vou justificar esse fator : considere a transformação . A matriz jacobiana é
O determinante dessa matriz é
Esse determinante é o fator de escala que transforma
em
, por isso
.
Passo 3
Determinar os limites de integração em coordenadas polares:\n
- Como
, as curvas e correspondem a e .\n - O anel inteiro ao redor da origem tem
variando de até .\n
Portanto a regiãoem polares é .
Passo 4
Transformar a integranda e escrever a integral em polares:\n
- Substituindo
e , a integral vira
Observe que agora a integral separa-se: a parte em
e a parte em
são independentes.
Passo 5
Calcular a integral interna em
(passo a passo da primitiva):\n
- Considere a integral interna
.\n - Faça a substituição
. Então , ou seja .\n - Em termos de
, os limites ficam: quando temos ; quando temos .\n - A integral transforma-se em
Passo 6
Integrar em
e obter o resultado final:\n
- Agora a integral completa é
- Como o integrando é constante em
, multiplicamos pela medida do intervalo de , que é :