1. Encontre as coordenadas de centro de massa de uma semi-esfera de raio 1 com densidade \rho=\rho_{0} \cos (\varphi).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as coordenadas do centro de massa de uma semi-esfera de raio 1 com densidade \rho=\rho_{0}\cos(\varphi).
Informações dadas e hipóteses padrão que vou usar (sem isso não dá pra resolver):
  • A semi-esfera é a metade superior da esfera de raio 1, ou seja o conjunto de pontos com 0\le r\le1 e coordenada z\ge0. Em coordenadas esféricas isso corresponde a \varphi variando de 0 a \pi/2.
  • A densidade volumétrica é \rho(\varphi)=\rho_{0}\cos(\varphi), onde \rho_{0} é constante.
  • O objetivo é achar as coordenadas (x_{\text{cm}},y_{\text{cm}},z_{\text{cm}}) do centro de massa.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Raio: 1.
  • Densidade: \rho(\varphi)=\rho_{0}\cos(\varphi).
  • Região: semi-esfera superior (ângulo polar \varphi\in[0,\pi/2], azimutal \theta\in[0,2\pi), raio r\in[0,1]).

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e expressões básicas (aula rápida sobre esféricas).
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis (r,\varphi,\theta)\) onde: \[\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y = r\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z = r\cos\varphi, \end{cases}com r\ge0\], \(\varphi ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja \varphi=0 aponta para +z), e \theta o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume em esféricas é dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • A densidade dada depende só de \varphi: \rho(r,\varphi,\theta)=\rho_{0}\cos\varphi.
Observação de simetria (muito útil):
  • A semi-esfera superior é simétrica em torno do eixo z. A densidade depende apenas de \varphi (não depende de \theta nem de \pm x,\pm y de forma que ao percorrer \theta as contribuições em x e y se cancelam).
  • Portanto, por simetria: x_{\text{cm}}=0,\qquad y_{\text{cm}}=0,restando encontrar apenas z_{\text{cm}}.]

Passo 3

Expressões integrais para massa e coordenada z_{\text{cm}} (fórmulas e interpretação).
  • Massa total M da semi-esfera: M=\iiint_{\text{semi-esfera}}\rho\,dV.Em esféricas, com os limites r\in[0,1],\\ \varphi\in[0,\pi/2],\\ \theta\in[0,2\pi], M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\rho_{0}\cos\varphi\; r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Momento em z (numerador para z_{\text{cm}}): M_{z}=\iiint_{\text{semi-esfera}} z\,\rho\,dV.Como z=r\cos\varphi, M_{z}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} (r\cos\varphi)\,\rho_{0}\cos\varphi\; r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • A coordenada z_{\text{cm}} é z_{\text{cm}}=\frac{M_{z}}{M}.

Passo 4

Cálculo do massa M passo a passo.
  • Escrevendo o integral e separando fatores que não dependem de certas variáveis: M=\rho_{0}\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{1}r^{2}\,dr.
  • Calcule cada integral simples:
    • Integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
    • Integral radial: \int_{0}^{1}r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
    • Integral em \varphi: usar substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi.
      Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/2 temos u=0. Assim \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0} u\,(-du) =\int_{0}^{1} u\,du =\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
  • Multiplicando tudo: M=\rho_{0}\cdot (2\pi)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\rho_{0}\cdot\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Cálculo do momento M_{z} passo a passo.
  • Escrever o integral e separar: M_{z}=\rho_{0}\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{1}r^{3}\,dr,pois apareceu um r\cos\varphi extra (do z) multiplicando r^{2} do dV, totalizando r^{3}.
  • Calcule cada integral:
    • Integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
    • Integral radial: \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
    • Integral em \varphi: usar novamente u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Os limites vão de u=1 a u=0. \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0} u^{2}(-du) =\int_{0}^{1} u^{2}\,du =\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
  • Multiplicando: M_{z}=\rho_{0}\cdot(2\pi)\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\rho_{0}\cdot\frac{\pi}{6}.

Passo 6

Cálculo final de z_{\text{cm}} e conclusão.
  • Agora usamos z_{\text{cm}}=\frac{M_{z}}{M}=\frac{\rho_{0}\,\dfrac{\pi}{6}}{\rho_{0}\,\dfrac{\pi}{3}}=\frac{1/6}{1/3}=\frac{1}{2}.
  • Pela simetria já justificamos x_{\text{cm}}=0 e y_{\text{cm}}=0. Logo o centro de massa fica em (x_{\text{cm}},y_{\text{cm}},z_{\text{cm}})=(0,0,\tfrac{1}{2}).

Resposta

(0,0,\tfrac{1}{2})

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