- Encontre as coordenadas de centro de massa de uma semi-esfera de raio 1 com densidade
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as coordenadas do centro de massa de uma semi-esfera de raio
com densidade
.
Informações dadas e hipóteses padrão que vou usar (sem isso não dá pra resolver):
- A semi-esfera é a metade superior da esfera de raio
, ou seja o conjunto de pontos com e coordenada . Em coordenadas esféricas isso corresponde a variando de a . - A densidade volumétrica é
, onde é constante. - O objetivo é achar as coordenadas
do centro de massa.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Raio:
. - Densidade:
. - Região: semi-esfera superior (ângulo polar
, azimutal , raio ).
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e expressões básicas (aula rápida sobre esféricas).
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
com
ângulo polar medido a partir do eixo
(ou seja aponta para ), e o ângulo azimutal no plano . - O elemento de volume em esféricas é
- A densidade dada depende só de
: .
Observação de simetria (muito útil):
- A semi-esfera superior é simétrica em torno do eixo
. A densidade depende apenas de (não depende de nem de de forma que ao percorrer as contribuições em e se cancelam). - Portanto, por simetria:
restando encontrar apenas .]
Passo 3
Expressões integrais para massa e coordenada
(fórmulas e interpretação).
- Massa total
da semi-esfera: Em esféricas, com os limites , - Momento em
(numerador para ): Como , - A coordenada
é
Passo 4
Cálculo do massa
passo a passo.
- Escrevendo o integral e separando fatores que não dependem de certas variáveis:
- Calcule cada integral simples:
- Integral em
: - Integral radial:
- Integral em
: usar substituição , então .
Quandotemos ; quando temos . Assim
- Integral em
- Multiplicando tudo:
Passo 5
Cálculo do momento
passo a passo.
- Escrever o integral e separar:
pois apareceu um extra (do ) multiplicando do , totalizando . - Calcule cada integral:
- Integral em
: - Integral radial:
- Integral em
: usar novamente , . Os limites vão de a .
- Integral em
- Multiplicando:
Passo 6
Cálculo final de
e conclusão.
- Agora usamos
- Pela simetria já justificamos
e . Logo o centro de massa fica em