1. Determine a área delimitada pela r=1 \mathrm{e} r=1+\cos (\theta) tal que r \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares: r=1 e r=1+\cos(\theta), e pede a área delimitada por elas na região em que r\geq 1. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • As curvas são r=1 (círculo de raio 1 centrado na origem) e r=1+\cos(\theta) (uma limaçon/cardioide-like).
  • A condição r\geq 1 implica que só interessam os pontos onde 1+\cos(\theta)\geq 1.
  • Resolver 1+\cos(\theta)=1 \cos(\theta)=0, ou seja \theta=\pm \dfrac{\pi}{2}.
  • A desigualdade 1+\cos(\theta)\geq 1 equivale a \cos(\theta)\geq 0, cujo conjunto de ângulos é \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] (mod 2\pi).
    Portanto a região procurada é, para \theta entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2}, o conjunto de pontos com r variando de r_{\text{interno}}=1 até r_{\text{externo}}=1+\cos(\theta).

Passo 2

Vamos recordar a fórmula de área em coordenadas polares: a área de uma região descrita por r=r(\theta) entre \theta=a e \theta=b é
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \bigl(r(\theta)\bigr)^2\,d\theta.Á
Explicando bem: pense em dividir a região em “fatias” angulares de espessura d\theta. Cada fatia tem aproximandamente área \tfrac{1}{2}r^2 d\theta (área de setor de círculo de raio r). Aqui r(\theta) é a distância ao polo para cada direção \theta.

Passo 3

Para a área entre duas curvas polares r=r_2(\theta) (externa) e r=r_1(\theta) (interna) no mesmo intervalo de ângulos, usamos
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \bigl(r_2(\theta)^2-r_1(\theta)^2\bigr)\,d\theta.Á
No nosso caso, para \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] temos r_2(\theta)=1+\cos(\theta) e r_1(\theta)=1. Assim os limites de integração são a=-\dfrac{\pi}{2} e b=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcule a diferença dos quadrados:
\bigl(1+\cos(\theta)\bigr)^2-1^2 = 1+2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)-1 = 2\cos(\theta)+\cos^2(\theta).

Passo 5

Substituindo na fórmula da área obtemos
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)\bigr)\,d\theta.Á
Vou calcular cada integral separadamente.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos(\theta)\,d\theta. Como \cos(\theta) é função par, podemos usar simetria ou integrar diretamente:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos(\theta)\,d\theta = 2\bigl[\sin(\theta)\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=2(1-(-1))=4.

Passo 7

Calcular \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2(\theta)\,d\theta usando a identidade de redução
\cos^2(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Então
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2(\theta)\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,d\theta + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos(2\theta)}{2}\,d\theta.
A primeira parte vale \dfrac{1}{2}\cdot\bigl(\pi/2-(-\pi/2)\bigr)=\dfrac{1}{2}\pi=\dfrac{\pi}{2}. A segunda parte é
\frac{1}{2}\bigl[\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{1}{4}\bigl(\sin(\pi)-\sin(-\pi)\bigr)=0.
Logo
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2(\theta)\,d\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 8

Juntando os resultados no integrando original:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)\bigr)\,d\theta = 4 + \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} da fórmula da área,
\text{Área}=\frac{1}{2}\left(4+\frac{\pi}{2}\right)=2+\frac{\pi}{4}.Á

Resposta

\;2+\dfrac{\pi}{4}

Exercícios relacionados