- Determine a área delimitada pela
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
e
, e pede a área delimitada por elas na região em que
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- As curvas são
(círculo de raio centrado na origem) e (uma limaçon/cardioide-like). - A condição
implica que só interessam os pontos onde . - Resolver
dá , ou seja . - A desigualdade
equivale a , cujo conjunto de ângulos é (mod ).
Portanto a região procurada é, paraentre e , o conjunto de pontos com variando de até .
Passo 2
Vamos recordar a fórmula de área em coordenadas polares: a área de uma região descrita por
entre
e
é
Explicando bem: pense em dividir a região em “fatias” angulares de espessura
. Cada fatia tem aproximandamente área
(área de setor de círculo de raio
). Aqui
é a distância ao polo para cada direção
.
Passo 3
Para a área entre duas curvas polares
(externa) e
(interna) no mesmo intervalo de ângulos, usamos
No nosso caso, para
temos
e
. Assim os limites de integração são
e
.
Passo 4
Calcule a diferença dos quadrados:
Passo 5
Substituindo na fórmula da área obtemos
Vou calcular cada integral separadamente.
Passo 6
Calcular
. Como
é função par, podemos usar simetria ou integrar diretamente:
Passo 7
Calcular
usando a identidade de redução
Então
A primeira parte vale
. A segunda parte é
Logo
Passo 8
Juntando os resultados no integrando original:
Multiplicando pelo fator
da fórmula da área,