Determine a integral indefinida de forma geral.
integral x(4+x^2)^8 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida de x(4 + x^2)^8 em relação a x. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por substituição, pois percebemos uma função elevada cuja derivada aparece multiplicada.

Passo 2

Vamos usar a substituição adequada para simplificar a integral. Definimos u = 4 + x^2, de modo que derivando ambos os lados obtemos
du = 2x,dx
Isso nos permite escrever x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral x(4 + x^2)^8,dx = integral u^8 cdot 12,du = 12 integral u^8,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^8:
integral u^8,du = u^99 + C
Então
12 integral u^8,du = 12 cdot u^99 + C = u^918 + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável x usando u = 4 + x^2 e obtemos a forma geral da integral indefinida: tfrac(4 + x^2)^918 + C.

Resposta

(4 + x^2)^918 + C

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