Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície dada por
. O conteúdo é superfícies quadráticas, mais precisamente um paraboloide elíptico. Para desenhar, vamos usar seções planas (cortes) e curvas de nível.
Passo 2
Começando pelas seções planas em planos que contêm o eixo
:
- Se
, a equação vira , ou seja, uma parábola no plano voltada para baixo. - Se
, a equação vira , outra parábola no plano também para baixo.
Isso nos mostra como a superfície se curva ao longo dos eixos.
Passo 3
Agora, olhemos para as curvas de nível (interseção com planos horizontais
): temos
ou
Para
isso é uma elipse centrada na origem, com semieixos
e
. Para
não há pontos reais.
Passo 4
A análise global mostra que o ponto
é o vértice e também o ponto de altura máxima (
). À medida que
saem da origem,
fica cada vez mais negativo, então a superfície abre para baixo.
Passo 5
Com base nessas informações, no esboço: desenhe os eixos
, marque o vértice na origem, rabisque algumas parabolas nos planos
e
, e desenhe elipses decrescentes para valores
. Isso dá a forma típica de um paraboloide elíptico voltado para baixo.
Resposta
É um paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em
e curvas de nível elipses decrescendo conforme
fica mais negativo.