Esboce o gráfico das seguintes funções:
z=-3 x^2-2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície dada por z=-3x^2-2y^2. O conteúdo é superfícies quadráticas, mais precisamente um paraboloide elíptico. Para desenhar, vamos usar seções planas (cortes) e curvas de nível.

Passo 2

Começando pelas seções planas em planos que contêm o eixo z:
  • Se y=0, a equação vira z=-3x^2, ou seja, uma parábola no plano xz voltada para baixo.
  • Se x=0, a equação vira z=-2y^2, outra parábola no plano yz também para baixo.
    Isso nos mostra como a superfície se curva ao longo dos eixos.

Passo 3

Agora, olhemos para as curvas de nível (interseção com planos horizontais z=k): temos
-3x^2-2y^2=k
ou
x^2-k/3+y^2-k/2=1
Para k<=0 isso é uma elipse centrada na origem, com semieixos raiz-k/3 e raiz-k/2. Para k>0 não há pontos reais.

Passo 4

A análise global mostra que o ponto (0,0,0) é o vértice e também o ponto de altura máxima ( z=0). À medida que x,y saem da origem, z fica cada vez mais negativo, então a superfície abre para baixo.

Passo 5

Com base nessas informações, no esboço: desenhe os eixos x,y,z, marque o vértice na origem, rabisque algumas parabolas nos planos y=0 e x=0, e desenhe elipses decrescentes para valores z<0. Isso dá a forma típica de um paraboloide elíptico voltado para baixo.

Resposta

É um paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em (0,0,0) e curvas de nível elipses decrescendo conforme z fica mais negativo.

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