Determine a integral indefinida
\int x \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de integração por partes, útil quando temos produto de uma função polinomial ( x) por uma função trigonométrica ( \operatorname{sen}(2x)).

Passo 2

Escolhemos as partes da forma
u = x \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sen}(2x)\,dx,
pois derivar x simplifica a expressão e integrar \operatorname{sen}(2x) gera um cosseno.

Passo 3

Calculamos
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes
\displaystyle \int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
obtendo
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = x\!\left(-\frac12\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac12\cos(2x)\right)\,dx.

Passo 5

Fazendo a simplificação de sinais, fica
-\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac12 \int \cos(2x)\,dx.
E sabemos que
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x).

Passo 6

Substituindo de volta e incluindo a constante de integração C, temos
-\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac12\cdot\frac12\sin(2x) + C = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C.

Resposta

\boxed{ -\frac{x}{2}\cos(2x) \;+\;\frac{1}{4}\sin(2x) + C }

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