Determine a integral indefinida \int \frac{1}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{x}\,\bigl(3+\sqrt{x}\bigr)}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais envolvendo raiz quadrada. Vamos usar a substituição \sqrt{x}=t para simplificar o integrando.

Passo 2

Definimos
t = \sqrt{x},
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x = t^2 \quad\text{e}\quad dx = 2t\,dt.

Passo 3

Substituindo em \frac{1}{\sqrt{x}\,(3+\sqrt{x})}\,dx temos
\frac{1}{t\,(3+t)}\,(2t\,dt) = \frac{2t}{t\,(3+t)}\,dt = \frac{2}{3+t}\,dt.

Passo 4

Agora integramos em t:
\int \frac{2}{3+t}\,dt = 2\int \frac{1}{t+3}\,dt = 2\ln\bigl|t+3\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original \,x, lembramos que t=\sqrt{x}. Portanto a primitiva é
2\ln\bigl|\sqrt{x}+3\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{x}\,\bigl(3+\sqrt{x}\bigr)}\,dx = 2\ln\bigl|\sqrt{x}+3\bigr| + C.

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