( 2,5 pontos) Seja S a parte da superfície cilíndrica z^{2}+x^{2}=1 que se encontra dentro do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \geq 0.
(a) (0,5) Determine uma parametrização para S;
(b) (0,5) Calcule N_{\varphi} onde \varphi é a parametrização de S. Esta superfície é orientável? Justifique;
(c) (0,75) Calcule a área de S;
(d) (0,75) Calcule \iint_{S} \sqrt{1-x^{2}} d S.

Passo 1

O enunciado fala da parte da superfície cilíndrica
\;z^{2}+x^{2}=1
que fica dentro do cone
\;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad z\ge0.
O que precisamos fazer é: (i) construir uma parametrização \varphi de S; (ii) achar o vetor normal N_{\varphi} e discutir a orientabilidade; (iii) calcular a área de S; (iv) calcular
\displaystyle \iint_{S}\sqrt{1-x^{2}}\,dS.

Passo 2

Para parametrizar S\), note que a equação \(z^{2}+x^{2}=1\) é um cilindro de raio 1 ao longo do eixo \(y\). Uma boa escolha é usar o ângulo \(\theta\) no plano \(xz\) e a coordenada \(y\). Assim \[\begin{cases} x=\cos\theta,\\\ z=\sin\theta, \end{cases}\quad\theta\in\Bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4\Bigr],
e y\] varia de modo que o ponto fique dentro do cone \(z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso dá
\sin\theta\ge\sqrt{\cos^{2}\theta+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y\in\bigl[-\,\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}\,,\,\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}\bigr].
Logo a parametrização é
\varphi(\theta,y)=\bigl(\cos\theta,\;y,\;\sin\theta\bigr), \quad \theta\in\Bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4\Bigr], \; y\in\Bigl[-\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta},\,\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}\Bigr].

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
\varphi_{\theta}=(-\sin\theta,\,0,\,\cos\theta), \quad \varphi_{y}=(0,\,1,\,0).
O produto vetorial é
\varphi_{\theta}\times\varphi_{y} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -\sin\theta&0&\cos\theta\\\\ 0&1&0 \end{vmatrix} =-\cos\theta\,\mathbf{i}\;-\sin\theta\,\mathbf{k}.
Como \|\varphi_{\theta}\times\varphi_{y}\|=1, um versor normal é
N_{\varphi}(\theta,y) =-\cos\theta\,\mathbf{i}-\sin\theta\,\mathbf{k}.
O cilindro é uma superfície orientável pois podemos escolher esse versor de forma contínua em todo S.

Passo 4

A área de S é
\iint_{S}dS =\iint\|\varphi_{\theta}\times\varphi_{y}\|\,d\theta\,dy =\int_{\theta=\pi/4}^{3\pi/4}\int_{y=-\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}^{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}1\,dy\,d\theta.
Fazendo a integral em y
\int_{-\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}^{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}1\,dy =2\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta} =2\sqrt{-\cos2\theta}.
Logo
\mathrm{Área}(S) =2\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sqrt{-\cos2\theta}\,d\theta =\sqrt{\pi}\,\frac{\Gamma\bigl(\tfrac34\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac54\bigr)},Á
onde usamos a expressão em termos de funções Gama.

Passo 5

Para \displaystyle\iint_{S}\sqrt{1-x^{2}}\,dS, note que em \varphi(\theta,y) temos x=\cos\theta, então
\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sin\theta (positivo em [\pi/4,3\pi/4]).
Assim
\iint_{S}\sqrt{1-x^{2}}\,dS =\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\!\!\int_{-\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}^{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}} \sin\theta\,dy\,d\theta =2\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin\theta\,\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}\,d\theta.
Fazendo a mudança de variável u=\cos\theta este integral se reduz a
4\int_{0}^{1/\sqrt2}\sqrt{1-2u^{2}}\,du \;=\;\frac{\pi\sqrt2}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle\varphi(\theta,y)=(\cos\theta,\;y,\;\sin\theta),
\theta\in[\tfrac\pi4,\,\tfrac{3\pi}4], y\in[-\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta},\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}].
(b) \displaystyle N_{\varphi}=-\cos\theta\,\mathbf{i}-\sin\theta\,\mathbf{k}. A superfície é orientável.
(c) \displaystyle \mathrm{Área}(S)=\sqrt{\pi}\,\frac{\Gamma\bigl(\tfrac34\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac54\bigr)}Á.
(d) \displaystyle \iint_{S}\sqrt{1-x^{2}}\,dS=\frac{\pi\sqrt2}{2}.

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