( 2,5 pontos) Seja S a parte da superfície cilíndrica z^{2}+x^{2}=1 que se encontra dentro do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \geq 0.
(a) (0,5) Determine uma parametrização para S;
(b) (0,5) Calcule N_{\varphi} onde \varphi é a parametrização de S. Esta superfície é orientável? Justifique;
(c) (0,75) Calcule a área de S;
(d) (0,75) Calcule \iint_{S} \sqrt{1-x^{2}} d S.
Passo 1
O enunciado fala da parte da superfície cilíndrica
\;z^{2}+x^{2}=1
que fica dentro do cone
\;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad z\ge0.
O que precisamos fazer é: (i) construir uma parametrização \varphi de S; (ii) achar o vetor normal N_{\varphi} e discutir a orientabilidade; (iii) calcular a área de S; (iv) calcular \displaystyle \iint_{S}\sqrt{1-x^{2}}\,dS.
Passo 2
Para parametrizar S\), note que a equação \(z^{2}+x^{2}=1\) é um cilindro de raio 1 ao longo do eixo \(y\). Uma boa escolha é usar o ângulo \(\theta\) no plano \(xz\) e a coordenada \(y\). Assim
\[\begin{cases}
x=\cos\theta,\\\ z=\sin\theta,
\end{cases}\quad\theta\in\Bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4\Bigr],
e y\] varia de modo que o ponto fique dentro do cone \(z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso dá
onde usamos a expressão em termos de funções Gama.
Passo 5
Para \displaystyle\iint_{S}\sqrt{1-x^{2}}\,dS, note que em \varphi(\theta,y) temos x=\cos\theta, então \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sin\theta (positivo em [\pi/4,3\pi/4]).
Assim