Determine se a integral
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Informações dadas e o que devemos responder:
- A integral é própria no integrando (a função
está definida para ), mas o intervalo de integração é infinito ( ), portanto é uma integral imprópria por intervalo não limitado. - Pergunta explícita: a integral converge (tem valor finito) ou diverge (não tem valor finito; pode tender a
)? - Se convergente, deveríamos encontrar o valor; se divergente, devemos justificar por que não existe um valor finito.
Passo 2
Definição do que significa avaliar uma integral imprópria no infinito (como procedimento):
Aqui a ideia é aproximar a integral no intervalo infinito por integrais em intervalos finitos
e depois ver se o limite quando
cresce até infinito existe e é finito. Se esse limite existir e for um número real finito, dizemos que a integral converge; se o limite for
ou não existir, dizemos que a integral diverge.
Passo 3
Vamos calcular a integral definida em intervalo finito
e depois tomar o limite. Precisamos conhecer a primitiva (antiderivada) de
. Uma propriedade básica do logaritmo natural é:
- A função
(logaritmo natural) tem derivada para .
Portanto uma primitiva deé . Aqui cada símbolo significa: -
é a variável de integração, -
é a primitiva cujo diferencial é .
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral em
:
Sabemos que
. Logo
Isso significa que a integral imprópria é dada pelo limite
Passo 5
Agora precisamos analisar o limite
. Prova intuitiva de que
quando
:
- Considere a sequência
(onde é a base dos logaritmos naturais). Temos . Como faz e , isso mostra que pode ser arbitrariamente grande quando cresce. Portanto .
Outra forma de ver: a funçãoé crescente e não possui teto superior, logo tende a .
Passo 6
Como o limite
é infinito, concluímos que
ou seja, a integral diverge. Em palavras: o valor da integral cresce sem limite quando estendemos o intervalo até o infinito, não há um número real finito que seja o resultado.
Passo 7
Comentário didático extra (útil para provas): existe um teste geral para integrais do tipo
(conhecido como "teste
"):
- Se
, então converge. - Se
, então diverge.
No nosso caso, portanto a regra já indica divergência. Use esse teste quando precisar de um critério rápido em prova.
Resposta
A integral
é divergente (tende a
).