Determine se a integral \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x} é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x}
é convergente ou divergente. Informações dadas e o que devemos responder:
  • A integral é própria no integrando (a função x\mapsto \tfrac{1}{x} está definida para x\ge 1), mas o intervalo de integração é infinito ( [1,\infty)), portanto é uma integral imprópria por intervalo não limitado.
  • Pergunta explícita: a integral converge (tem valor finito) ou diverge (não tem valor finito; pode tender a +\infty)?
  • Se convergente, deveríamos encontrar o valor; se divergente, devemos justificar por que não existe um valor finito.

Passo 2

Definição do que significa avaliar uma integral imprópria no infinito (como procedimento):
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{dx}{x}.
Aqui a ideia é aproximar a integral no intervalo infinito por integrais em intervalos finitos [1,b] e depois ver se o limite quando b cresce até infinito existe e é finito. Se esse limite existir e for um número real finito, dizemos que a integral converge; se o limite for +\infty ou não existir, dizemos que a integral diverge.

Passo 3

Vamos calcular a integral definida em intervalo finito [1,b] e depois tomar o limite. Precisamos conhecer a primitiva (antiderivada) de x\mapsto \tfrac{1}{x}. Uma propriedade básica do logaritmo natural é:
  • A função \ln x (logaritmo natural) tem derivada \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x} para x>0.
    Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln x. Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável de integração,
  • \ln x é a primitiva cujo diferencial é \dfrac{1}{x}dx.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral em [1,b]:
\int_{1}^{b} \frac{dx}{x} = \left.\ln x\right|_{1}^{b} = \ln b - \ln 1.
Sabemos que \ln 1 = 0. Logo
\int_{1}^{b} \frac{dx}{x} = \ln b.
Isso significa que a integral imprópria é dada pelo limite
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{b\to\infty} \ln b.

Passo 5

Agora precisamos analisar o limite \lim_{b\to\infty} \ln b. Prova intuitiva de que \ln b\to +\infty quando b\to\infty:
  • Considere a sequência b_n = e^n (onde e é a base dos logaritmos naturais). Temos \ln b_n = \ln(e^n) = n. Como n\to\infty faz b_n\to\infty e \ln b_n = n\to\infty, isso mostra que \ln b pode ser arbitrariamente grande quando b cresce. Portanto \lim_{b\to\infty} \ln b = +\infty.
    Outra forma de ver: a função \ln x é crescente e não possui teto superior, logo tende a +\infty.

Passo 6

Como o limite \lim_{b\to\infty} \ln b = +\infty é infinito, concluímos que
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} = +\infty,
ou seja, a integral diverge. Em palavras: o valor da integral cresce sem limite quando estendemos o intervalo até o infinito, não há um número real finito que seja o resultado.

Passo 7

Comentário didático extra (útil para provas): existe um teste geral para integrais do tipo \int_{1}^{\infty} \tfrac{1}{x^p}dx (conhecido como "teste p"):
  • Se p>1, então \int_{1}^{\infty} \tfrac{dx}{x^p} converge.
  • Se p\le 1, então \int_{1}^{\infty} \tfrac{dx}{x^p} diverge.
    No nosso caso p=1, portanto a regra já indica divergência. Use esse teste quando precisar de um critério rápido em prova.

Resposta

A integral \int_{1}^{+\infty} \dfrac{dx}{x} é divergente (tende a +\infty).

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