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Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Informações importantes dadas no enunciado:
Observação útil (sem resolver ainda): o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, então a fração é imprópria (grau do numerador
grau do denominador). Isso normalmente nos indica que é conveniente fazer uma divisão polinomial primeiro, para separar uma parte polinomial de uma fração própria.
Passo 2
Vamos dividir polinomialmente para escrever
onde
é o quociente e
o resto (com
). Fazendo a divisão por passos (dividimos o termo de maior grau pelo termo de maior grau do denominador):
- Dividimos
por , obtendo . Multiplicamos pelo denominador:
Subtraindo do numerador:
- Agora
dividido por dá . Multiplicamos pelo denominador:
Subtraindo:
Portanto o quociente é
e o resto é
. Assim
Passo 3
Agora a integral se separa:
A primeira parte é direta; resta tratar a integral da fração própria
Antes de fazer frações parciais, é muito útil fatorar o denominador. Observe que podemos agrupar:
E
fatoriza como
. Portanto
Passo 4
Com o denominador fatorado, usamos decomposição em frações parciais. Como temos um fator quadrado
e um fator linear
, a forma correta é
onde
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Expandimos os termos do lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos cada pedaço:
Somando:
Comparando com
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação (A=-C].
Substituindo
na terceira:
Substituindo
na segunda:
Logo
e
.
Portanto
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Reescrevendo a integral original usando os resultados:
Integramos cada pedaço lembrando as fórmulas básicas:
- Regra do polinômio (regra do poder):
e . - Integral de
: porque a derivada de é . - Integral de
: , usando a regra do poder com expoente .
Aplicando:
Somando tudo (e lembrando da constante de integração
):
Passo 7
Podemos juntar os logaritmos num único logaritmo de quociente se quisermos:
Assim uma forma final e limpa da primitiva é