Encontre
\int \frac{x^{4}-2 x^{2}+4 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int \frac{x^{4}-2 x^{2}+4 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx.
Informações importantes dadas no enunciado:
\text{numerador }=x^{4}-2x^{2}+4x+1, \qquad \text{denominador }=x^{3}-x^{2}-x+1.
Observação útil (sem resolver ainda): o numerador tem grau 4 e o denominador tem grau 3, então a fração é imprópria (grau do numerador \ge grau do denominador). Isso normalmente nos indica que é conveniente fazer uma divisão polinomial primeiro, para separar uma parte polinomial de uma fração própria.

Passo 2

Vamos dividir polinomialmente para escrever
\frac{x^{4}-2 x^{2}+4 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}=Q(x)+\frac{R(x)}{x^{3}-x^{2}-x+1},
onde Q(x) é o quociente e R(x) o resto (com \deg R<3). Fazendo a divisão por passos (dividimos o termo de maior grau pelo termo de maior grau do denominador):
  1. Dividimos x^{4} por x^{3}, obtendo x. Multiplicamos x pelo denominador:
x\cdot\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x.
Subtraindo do numerador:
(x^{4}-2x^{2}+4x+1)-\bigl(x^{4}-x^{3}-x^{2}+x\bigr)=x^{3}-x^{2}+3x+1.
  1. Agora x^{3} dividido por x^{3} +1. Multiplicamos 1 pelo denominador:
1\cdot\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr)=x^{3}-x^{2}-x+1.
Subtraindo:
(x^{3}-x^{2}+3x+1)-\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr)=4x.
Portanto o quociente é Q(x)=x+1 e o resto é R(x)=4x. Assim
\frac{x^{4}-2 x^{2}+4 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^{3}-x^{2}-x+1}.

Passo 3

Agora a integral se separa:
\int \frac{x^{4}-2 x^{2}+4 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx =\int (x+1)\,dx+\int \frac{4x}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx.
A primeira parte é direta; resta tratar a integral da fração própria
\int \frac{4x}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx.
Antes de fazer frações parciais, é muito útil fatorar o denominador. Observe que podemos agrupar:
x^{3}-x^{2}-x+1=(x^{3}-x^{2})-(x-1)=x^{2}(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^{2}-1).
E x^{2}-1 fatoriza como (x-1)(x+1). Portanto
x^{3}-x^{2}-x+1=(x-1)^{2}(x+1).

Passo 4

Com o denominador fatorado, usamos decomposição em frações parciais. Como temos um fator quadrado (x-1)^2 e um fator linear (x+1), a forma correta é
\frac{4x}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x+1) obtemos a identidade polinomial
4x=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^{2}.

Passo 5

Expandimos os termos do lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos cada pedaço:
A(x-1)(x+1)=A(x^{2}-1)=A x^{2}-A,
B(x+1)=B x + B,
C(x-1)^{2}=C(x^{2}-2x+1)=C x^{2}-2C x + C.
Somando:
A(x^{2}-1)+B(x+1)+C(x^{2}-2x+1)=(A+C)x^{2}+(B-2C)x+(-A+B+C).
Comparando com 4x\), que tem coeficientes: para \(x^{2}\) é \(0\), para \(x\) é \(4\), e termo constante é \(0\), obtemos o sistema linear \[\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B-2C=4,\\[4pt] - A + B + C=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação (A=-C].
Substituindo A=-C na terceira:
-(-C)+B+C=0 \implies C+B+C=0 \implies B+2C=0 \implies B=-2C.
Substituindo B=-2C na segunda:
(-2C)-2C=4 \implies -4C=4 \implies C=-1.
Logo A=-C=1 e B=-2C=2.
Portanto
\frac{4x}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x+1}.]

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Reescrevendo a integral original usando os resultados:
\int \frac{x^{4}-2 x^{2}+4 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx =\int (x+1)\,dx+\int\left(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx.
Integramos cada pedaço lembrando as fórmulas básicas:
  • Regra do polinômio (regra do poder): \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C e \displaystyle \int 1\,dx=x+C.
  • Integral de 1/(x-a): \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C porque a derivada de \ln|x-a| é 1/(x-a).
  • Integral de (x-a)^{-2}: \displaystyle \int (x-a)^{-2}\,dx=\int (x-a)^{-2}d x=\frac{(x-a)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x-a}+C, usando a regra do poder com expoente -2.
Aplicando:
\int (x+1)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+x.
\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|.
\int \frac{2}{(x-1)^{2}}\,dx=2\cdot\left(-\frac{1}{x-1}\right)=-\frac{2}{x-1}.
\int -\frac{1}{x+1}\,dx=-\ln|x+1|.
Somando tudo (e lembrando da constante de integração C):
\frac{x^{2}}{2}+x+\ln|x-1|-\frac{2}{x-1}-\ln|x+1|+C.

Passo 7

Podemos juntar os logaritmos num único logaritmo de quociente se quisermos:
\ln|x-1|-\ln|x+1|=\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
Assim uma forma final e limpa da primitiva é
\frac{x^{2}}{2}+x+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{2}{x-1}+C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+x+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{2}{x-1}+C

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