O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função
\frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3},
ou seja, encontrar
\int \frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3}\,dx.
Informações dadas e relevantes: o numerador e o denominador são polinômios quadráticos (mesmo grau). Não há outras condições extra.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): quando o numerador e o denominador têm o mesmo grau, uma técnica simples é separar o numerador em uma parte igual ao denominador mais um resto de grau menor. Vamos fazer isso explicitamente.
Passo 3
Calcule a diferença entre numerador N e denominador D:
Uma técnica útil é escrever o numerador como uma combinação da derivada do denominador mais uma constante. Calcule a derivada do denominador:
D'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{2}-4x+3)=8x-4.
Procuramos \alpha e \beta tais que
x-1=\alpha D'(x)+\beta=\alpha(8x-4)+\beta.
Comparando coeficientes: do termo em x vem 1=8\alpha, logo \alpha=\tfrac{1}{8}. Do termo constante vem -1=-4\alpha+\beta, então \beta=-1+4\alpha=-1+\tfrac{4}{8}=-\tfrac{1}{2}.
Nota: D(x)=4x^{2}-4x+3=4\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^{2}+2>0 para todo x, então poderíamos omitir as barras de valor absoluto, mas é padrão escrevê-las na forma logarítmica.
Passo 9
Agora calcule a segunda parte \displaystyle\int \frac{1}{D}\,dx. Primeiro completamos o quadrado em D: