Calcule
\int \frac{4 x^{2}-3 x+2}{4 x^{2}-4 x+3} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função
\frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3},
ou seja, encontrar
\int \frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3}\,dx.
Informações dadas e relevantes: o numerador e o denominador são polinômios quadráticos (mesmo grau). Não há outras condições extra.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): quando o numerador e o denominador têm o mesmo grau, uma técnica simples é separar o numerador em uma parte igual ao denominador mais um resto de grau menor. Vamos fazer isso explicitamente.

Passo 3

Calcule a diferença entre numerador N e denominador D:
N=4x^{2}-3x+2,\qquad D=4x^{2}-4x+3,
N-D=(4x^{2}-3x+2)-(4x^{2}-4x+3)=x-1.
Logo
N=D+(x-1).

Passo 4

Use a decomposição anterior na integral:
\int \frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3}\,dx =\int \frac{D+(x-1)}{D}\,dx =\int 1\,dx+\int \frac{x-1}{D}\,dx.

Passo 5

A primeira integral é direta:
\int 1\,dx = x.

Passo 6

Falta calcular
\int \frac{x-1}{4x^{2}-4x+3}\,dx.
Uma técnica útil é escrever o numerador como uma combinação da derivada do denominador mais uma constante. Calcule a derivada do denominador:
D'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{2}-4x+3)=8x-4.
Procuramos \alpha e \beta tais que
x-1=\alpha D'(x)+\beta=\alpha(8x-4)+\beta.
Comparando coeficientes: do termo em x vem 1=8\alpha, logo \alpha=\tfrac{1}{8}. Do termo constante vem -1=-4\alpha+\beta, então \beta=-1+4\alpha=-1+\tfrac{4}{8}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Substituindo a decomposição:
\frac{x-1}{D}=\frac{1}{8}\frac{D'}{D}-\frac{1}{2}\frac{1}{D}.
Portanto
\int \frac{x-1}{D}\,dx=\frac{1}{8}\int \frac{D'}{D}\,dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{D}\,dx.

Passo 8

Integre a primeira parte usando a fórmula básica \displaystyle\int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C. Aqui u=D(x), logo
\frac{1}{8}\int \frac{D'}{D}\,dx=\frac{1}{8}\ln\big|D(x)\big|.
Nota: D(x)=4x^{2}-4x+3=4\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^{2}+2>0 para todo x, então poderíamos omitir as barras de valor absoluto, mas é padrão escrevê-las na forma logarítmica.

Passo 9

Agora calcule a segunda parte \displaystyle\int \frac{1}{D}\,dx. Primeiro completamos o quadrado em D:
D(x)=4x^{2}-4x+3=4\Big(x^{2}-x\Big)+3=4\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big)^{2}+2.
Logo
\int \frac{1}{D}\,dx=\int \frac{1}{4\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^{2}+2}\,dx =\frac{1}{4}\int \frac{1}{\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dx.

Passo 10

Use a integral padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui u=x-\tfrac{1}{2} e a^{2}=\tfrac{1}{2}, logo a=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim
\int \frac{1}{\big(x-\tfrac{1}{2}\big)^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dx =\sqrt{2}\,\arctan\!\big(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\big)+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} obtém-se
\int \frac{1}{D}\,dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\,\arctan\!\big(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\big)+C.

Passo 11

Volte à decomposição do Passo 7:
\int \frac{x-1}{D}\,dx=\frac{1}{8}\ln\big|D(x)\big|-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}\,\arctan\!\big(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\big)+C.
Calcule o coeficiente numérico do arco-tangente:
-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{8}.

Passo 12

Somando com a parte x do Passo 5, a primitiva completa é
x+\frac{1}{8}\ln\big|4x^{2}-4x+3\big|-\frac{\sqrt{2}}{8}\,\arctan\!\big(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\big)+C.

Resposta

x+\dfrac{1}{8}\ln\big(4x^{2}-4x+3\big)-\dfrac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\big(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\big)+C

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