Calcule os seguintes limites:
lim x 2 raizx+2-2x^3-8;

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto2raizx+2-2x^3-8,
que é um caso de indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos usar racionalização e fatoração de polinômios.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=2:
raiz2+2-2=2-2=0, 2^3-8=8-8=0,
logo temos 0/0.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raizx+2+2:
raizx+2-2x^3-8 =(raizx+2-2)(raizx+2+2)(x^3-8)(raizx+2+2) =x+2-4(x^3-8)(raizx+2+2) =x-2(x^3-8)(raizx+2+2)

Passo 4

Fatoramos x^3-8 como diferença de cubos:
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),
então
x-2(x^3-8)(raizx+2+2) =x-2(x-2)(x^2+2x+4)(raizx+2+2) =1(x^2+2x+4),(raizx+2+2)

Passo 5

Agora tomamos o limite xto2 na forma simplificada:
x^2+2x+4|x=2=4+4+4=12, raizx+2+2|x=2=2+2=4,
logo
limxto2raizx+2-2x^3-8 =112cdot4 =148

Resposta

148

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