Exercício 5. Seja Omega subseteq R^d um conjunto aberto. Nós dizemos que uma função u in L^1(Omega) é de variação limitada quando
sup integralOmega u(x) div varphi(x) d x ; varphi in Cc^1(Omega) e |varphi|L^infty(Omega) <= 1<+infty
O supremo acima é denotado por |nabla u|(Omega) e denominado variação total de u. Seja
VL(Omega):=u in L^1(Omega) ;|nabla u|(Omega)<+infty
o conjunto das funções de variação limitada em Omega.
(i) Mostre que VL(Omega) é um espaço de Banach com a norma
|u|VL(Omega):=|u|L^1(Omega)+|nabla u|(Omega)
(ii) Prove que o espaço de Sobolev W^1,1(Omega) é um subespaço fechado de VL (Omega).
(iii) Dada u in VL(Omega), mostre que existe un in C^infty(Omega) cap W^1,1(Omega) tal que
un longrightarrow u em L^1(Omega) e integralOmega|nabla un(x)| d x longrightarrow|nabla un|(Omega)
Dica: Adaptar a prova de densidade feita para os Espaços de Sobolev.

Passo 1

O enunciado define o espaço
VL(Omega)=,uin L^1(Omega)mid |nabla u|(Omega)<+infty,
onde
|nabla u|(Omega) =suplintegralOmega u(x),div,varphi(x),dx ;;;varphiin Cc^1(Omega), |varphi|L^infty(Omega)<=1r
Queremos mostrar:
(i) VL(Omega) é Banach com
|u|VL=|u|L^1+|nabla u|(Omega).
(ii) W^1,1(Omega) é subespaço fechado de VL(Omega).
(iii) Para todo uinVL(Omega) existe unin C^infty(Omega)cap W^1,1(Omega) tal que
,unto u em L^1 e integralOmega|nabla un|to|nabla u|(Omega).

Passo 2

(Prova de que |cdot|VL é norma e que o espaço é completo)
a) É claro que |u|VL>=0, que |u|VL=0 só se u=0 a.e., e a desigualdade triangular vem de
|nabla(u+v)|(Omega)<=|nabla u|(Omega)+|nabla v|(Omega),
que decorre imediatamente da definição por supremum linear.
b) Seja (un)subsetVL(Omega) Cauchy em |cdot|VL. Então
|un-um|L^1to0 e
l||nabla un|(Omega)-|nabla um|(Omega)r|to0.
Da primeira parte obtemos unto u em L^1(Omega) para algum uin L^1(Omega).
Pela semicontinuidade inferior da variação total (propriedade padrão de BV),
|nabla u|(Omega)<=liminfntoinfty|nabla un|(Omega)<+infty,
logo uinVL(Omega). Finalmente,
limsupntoinfty|un-u|VL <=limsupntoinfty|un-u|L^1 +limsupntoinftyl||nabla un|(Omega)-|nabla u|(Omega)r|=0,
mostrando que unto u em |cdot|VL e, portanto, VL(Omega) é completo.

Passo 3

(Prova de que W^1,1(Omega) é fechado em VL(Omega))
Seja (un)subset W^1,1(Omega) que converge em |cdot|VL para uinVL(Omega).
Como em W^1,1 vale
|nabla un|(Omega) =integralOmega|nabla un(x)|,dx,
a convergência de |nabla un|(Omega) implica que (nabla un) é Cauchy em L^1(Omega;R^d).
Logo existe vin L^1(Omega;R^d) tal que
nabla unto v em L^1.
Por definição de derivada no sentido das distribuições, para todo varphiin Cc^1(Omega) temos
integralOmega u,div,varphi =-limntoinftyintegralOmega un,div,varphi =limntoinftyintegralOmeganabla uncdotvarphi =integralOmega vcdotvarphi
Isto mostra que u tem derivada distribuicional em L^1 igual a v, logo uin W^1,1(Omega) e
nabla untonabla u em L^1. Assim, W^1,1(Omega) é fechado em VL(Omega).

Passo 4

(Prova de densidade de C^infty cap W^1,1 em VL(Omega))
Usamos o método clássico de convolução local. Seja u in VL(Omega). Para cada n escolhemos um conjunto aberto pré‐compacto Omegan tal que
Omegan subset Omegan+1 subset Omega e cupn Omegan = Omega.
Tomamos um mollificador padrão rho1/n com suporte em B(0,1/n) e definimos
un(x) = l(u chiOmeganr) * rho1/n(x),
que pertence a C^infty(R^d) e, por construção, a Cc^infty(Omega) subset W^1,1(Omega).
Pelas propriedades de convolução e pela definição de variação total em R^d, vale
|un - u|L^1(Omega) to 0 e
integralOmega |nabla un(x)| , dx ;longrightarrow; |nabla u|(Omega),
usando que a convolução aproxima em L^1 e que a variação de u chiOmegan sobre Omega tende a |nabla u|(Omega) quando n to infty, e que a convolução não aumenta a variação fora de uma vizinhança arbitrariamente pequena da fronteira de Omegan.
Portanto un in C^infty(Omega) cap W^1,1(Omega), un to u em L^1 e
integralOmega |nabla un| to |nabla u|(Omega), como desejado.

Resposta

A) VL(Omega) é espaço de Banach com a norma |u|L^1+|nabla u|(Omega).
B) W^1,1(Omega) é subespaço fechado de VL(Omega).
C) Há aproximação por unin C^inftycap W^1,1 tal que unto u em L^1 e
integral|nabla un|to|nabla u|(Omega).

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