Exercício 5. Seja um conjunto aberto. Nós dizemos que uma função é de variação limitada quando
O supremo acima é denotado por e denominado variação total de . Seja
o conjunto das funções de variação limitada em .
(i) Mostre que é um espaço de Banach com a norma
(ii) Prove que o espaço de Sobolev é um subespaço fechado de VL .
(iii) Dada , mostre que existe tal que
Dica: Adaptar a prova de densidade feita para os Espaços de Sobolev.
Passo 1
O enunciado define o espaço
onde
Queremos mostrar:
(i) é Banach com .
(ii) é subespaço fechado de .
(iii) Para todo existe tal que em e .
Passo 2
(Prova de que é norma e que o espaço é completo)
a) É claro que , que só se a.e., e a desigualdade triangular vem de
que decorre imediatamente da definição por supremum linear.
b) Seja Cauchy em . Então e .
Da primeira parte obtemos unto u em L^1(Omega) para algum uin L^1(Omega).
Pela semicontinuidade inferior da variação total (propriedade padrão de BV),
mostrando que unto u em |cdot|VL e, portanto, VL(Omega) é completo.
Passo 3
(Prova de que W^1,1(Omega) é fechado em VL(Omega))
Seja (un)subset W^1,1(Omega) que converge em |cdot|VL para uinVL(Omega).
Como em W^1,1 vale
|nabla un|(Omega) =integralOmega|nabla un(x)|,dx,
a convergência de |nabla un|(Omega) implica que (nabla un) é Cauchy em L^1(Omega;R^d).
Logo existe vin L^1(Omega;R^d) tal que nabla unto v em L^1.
Por definição de derivada no sentido das distribuições, para todo varphiin Cc^1(Omega) temos
Isto mostra que u tem derivada distribuicional em L^1 igual a v, logo uin W^1,1(Omega) e nabla untonabla u em L^1. Assim, W^1,1(Omega) é fechado em VL(Omega).
Passo 4
(Prova de densidade de C^infty cap W^1,1 em VL(Omega))
Usamos o método clássico de convolução local. Seja u in VL(Omega). Para cada n escolhemos um conjunto aberto pré‐compacto Omegan tal que Omegan subset Omegan+1 subset Omega e cupn Omegan = Omega.
Tomamos um mollificador padrão rho1/n com suporte em B(0,1/n) e definimos
un(x) = l(u chiOmeganr) * rho1/n(x),
que pertence a C^infty(R^d) e, por construção, a Cc^infty(Omega) subset W^1,1(Omega).
Pelas propriedades de convolução e pela definição de variação total em R^d, vale |un - u|L^1(Omega) to 0 e
usando que a convolução aproxima em L^1 e que a variação de u chiOmegan sobre Omega tende a |nabla u|(Omega) quando n to infty, e que a convolução não aumenta a variação fora de uma vizinhança arbitrariamente pequena da fronteira de Omegan.
Portanto un in C^infty(Omega) cap W^1,1(Omega), un to u em L^1 e integralOmega |nabla un| to |nabla u|(Omega), como desejado.
Resposta
A) VL(Omega) é espaço de Banach com a norma |u|L^1+|nabla u|(Omega).
B) W^1,1(Omega) é subespaço fechado de VL(Omega).
C) Há aproximação por unin C^inftycap W^1,1 tal que unto u em L^1 e integral|nabla un|to|nabla u|(Omega).