Determine:
integral0^1 e^x sen x d x

Passo 1

Queremos calcular a integral
integral0^1 e^xsin x ,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes para encontrar uma primitiva de e^xsin x.

Passo 2

Definimos a primitiva
I(x)=integral e^xsin x,dx
Usamos integração por partes com
u=e^x, dv=sin x,dx
logo
du=e^x,dx, v=-cos x
Assim
I(x)=u,v-integral v,du =-e^xcos x-integrall(-cos xr)e^x,dx =-e^xcos x+integral e^xcos x,dx

Passo 3

Chamemos
J(x)=integral e^xcos x,dx
De novo por partes, com
u=e^x, dv=cos x,dx
vem
du=e^x,dx, v=sin x,
portanto
J(x)=e^xsin x-integral e^xsin x,dx =e^xsin x - I(x)
Substituindo em I(x)=-e^xcos x+J(x) obtemos
I(x)=-e^xcos x + l(e^xsin x - I(x)r) ;Longrightarrow; 2I(x)=e^x(sin x-cos x) ;Longrightarrow; I(x)=e^x2(sin x-cos x)+C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
integral0^1e^xsin x,dx =I(1)-I(0) =e^12l(sin1-cos1r) -e^02l(sin0-cos0r)
Como sin0=0 e cos0=1, a parte em x=0 vale tfrac12(0-1)=-tfrac12. Logo
integral0^1e^xsin x,dx =e2(sin1-cos1)+12

Resposta

boxed12+e2,l(sin1-cos1r)

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