5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
x y^2 d x+(x^2 y^2+x^2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x,y^2,dx + l(x^2y^2 + x^2yr),dy = 0
identificando primeiro um fator integrante que torne a equação exata, e em seguida encontrando a solução geral. Vamos usar o conceito de exatidão: chamamos
M(x,y) = x,y^2, N(x,y) = x^2y^2 + x^2y,
e a equação M,dx + N,dy=0 é exata se e somente se partial M/partial y = partial N/partial x. Se não for exata, buscamos um fator integrante mu que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Verificamos a exatidão direta calculando
partial Mpartial y = 2x,y, partial Npartial x = 2x,y^2 + 2x,y
Como 2x,y neq 2x,y^2 + 2x,y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que seja função apenas de y. O teste é verificar se
Nx - MyM
é função de y somente. Calculamos
Nx - My = (2x,y^2 + 2x,y) - 2x,y = 2x,y^2,
então
Nx - MyM = 2x,y^2x,y^2 = 2,
que de fato é uma constante (isto é, função de y apenas). Logo existe mu(y) dada por
mu(y) = expl(integral 2,dyr) = e^2y

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(y)=e^2y. Assim
M'(x,y) = e^2y,x,y^2, N'(x,y) = e^2y,l(x^2y^2 + x^2yr)
Verificamos agora a exatidão:
partial M'partial y = x,ddyl(y^2e^2yr) = xl(2y,e^2y + y^2,2e^2yr) = 2x,e^2y,(y + y^2),
partial N'partial x = ddxl(x^2(y^2+y)e^2yr) = 2x,(y^2+y)e^2y = 2x,e^2y,(y+y^2),
confirmando que M',dx + N',dy=0 é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M' = x,y^2e^2y
Integramos em x:
psi(x,y) = integral x,y^2e^2y,dx = y^2e^2y,x^22 + h(y) = x^2y^2e^2y2 + h(y)
Para determinar h(y), diferenciamos em y e igualamos a N':
psiy = ddyl(x^2y^2e^2y2r) + h'(y) = x^2e^2y(y + y^2) + h'(y) stackrel!= N' = x^2e^2y(y^2+y)
Daí h'(y)=0, logo h(y)= constante.

Resposta

A fator integrante é
mu(y) = e^2y,
e a solução geral fica dada implicitamente por
x^2y^2e^2y2 = C Long<=ftrightarrow x^2y^2e^2y = C',
onde C' é constante arbitrária.

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