5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
identificando primeiro um fator integrante que torne a equação exata, e em seguida encontrando a solução geral. Vamos usar o conceito de exatidão: chamamos
e a equação
é exata se e somente se
. Se não for exata, buscamos um fator integrante
que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Verificamos a exatidão direta calculando
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que seja função apenas de
. O teste é verificar se
é função de
somente. Calculamos
então
que de fato é uma constante (isto é, função de
apenas). Logo existe
dada por
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
. Assim
Verificamos agora a exatidão:
confirmando que
é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Para determinar
, diferenciamos em
e igualamos a
:
Daí
, logo
constante.
Resposta
A fator integrante é
e a solução geral fica dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.