Determine os inteiros positivos a e b sabendo que:
(a) a b=4.032 e \operatorname{mmc}(a, b)=336

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os inteiros positivos a e b:
  • Dados: \;ab=4032 e \;\operatorname{mmc}(a,b)=336.
  • Pedido: determinar os inteiros positivos a e b.

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): para inteiros positivos a e b vale a relação
\gcd(a,b)\cdot\operatorname{mmc}(a,b)=a b.
Por que isso é verdade? Seja g=\gcd(a,b). Podemos escrever a=gx e b=gy com x,y inteiros positivos e \gcd(x,y)=1. O mínimo múltiplo de a e b é o menor número que contém todos os fatores primos de a e de b; como x e y são coprimos, esse mínimo múltiplo é
\operatorname{mmc}(a,b)=gxy.
Multiplicando \gcd(a,b)=g por \operatorname{mmc}(a,b)=gxy obtemos g\cdot gxy = g^2 xy, e como ab=(gx)(gy)=g^2 xy temos exatamente
\gcd(a,b)\cdot\operatorname{mmc}(a,b)=a b.
Essa fórmula é muito útil: conhecendo ab e \operatorname{mmc}(a,b) podemos achar \gcd(a,b) por divisão.

Passo 3

Calcular \gcd(a,b) usando a relação do passo anterior:
\gcd(a,b)=\frac{a b}{\operatorname{mmc}(a,b)}=\frac{4032}{336}.
Fazendo a divisão: 336\cdot 10=3360, sobrando 672; 336\cdot 2=672. Então 336\cdot 12=4032. Logo
\gcd(a,b)=12.

Passo 4

Escrevemos a=12x e b=12y com \gcd(x,y)=1. Usando \operatorname{mmc}(a,b)=12xy (porque x,y são coprimos), do dado \operatorname{mmc}(a,b)=336 temos:
12xy=336.
Dividindo ambos os lados por 12,
xy=\frac{336}{12}=28.
Portanto precisamos encontrar inteiros positivos x,y coprimos tais que xy=28.

Passo 5

Fatoramos 28 e listamos pares de fatores positivos:
28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7.
Agora verificamos a condição \gcd(x,y)=1 para cada par:
  • Para (x,y)=(1,28) temos \gcd(1,28)=1 OK.
  • Para (x,y)=(2,14) temos \gcd(2,14)=2, não são coprimos — descartamos.
  • Para (x,y)=(4,7) temos \gcd(4,7)=1 OK.
    Também vale considerar as permutações (28,1) e (7,4).

Passo 6

Voltando aos a e b originais com a=12x e b=12y, geramos as soluções a partir dos pares (x,y) aceitos:
  • De (x,y)=(1,28) vem (a,b)=(12\cdot1,\;12\cdot28)=(12,336).
  • De (x,y)=(28,1) vem (a,b)=(336,12).
  • De (x,y)=(4,7) vem (a,b)=(12\cdot4,\;12\cdot7)=(48,84).
  • De (x,y)=(7,4) vem (a,b)=(84,48).
Verificação rápida (exemplo): 12\cdot336=4032 e \operatorname{mmc}(12,336)=336 (óbvio porque 336 é múltiplo de 12); 48\cdot84=4032 e \operatorname{mmc}(48,84)=336 (pode ser verificado pelo produto dividido pelo \gcd, que é 12).

Resposta

(a,b)=(12,336),\;(336,12),\;(48,84),\;(84,48)

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