Determine os inteiros positivos
e
sabendo que:
(a)
e
(a)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os inteiros positivos
e
:
- Dados:
e . - Pedido: determinar os inteiros positivos
e .
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo): para inteiros positivos
e
vale a relação
Por que isso é verdade? Seja
. Podemos escrever
e
com
inteiros positivos e
. O mínimo múltiplo de
e
é o menor número que contém todos os fatores primos de
e de
; como
e
são coprimos, esse mínimo múltiplo é
Multiplicando
por
obtemos
, e como
temos exatamente
Essa fórmula é muito útil: conhecendo
e
podemos achar
por divisão.
Passo 3
Calcular
usando a relação do passo anterior:
Fazendo a divisão:
, sobrando
;
. Então
. Logo
Passo 4
Escrevemos
e
com
. Usando
(porque
são coprimos), do dado
temos:
Dividindo ambos os lados por
,
Portanto precisamos encontrar inteiros positivos
coprimos tais que
.
Passo 5
Fatoramos
e listamos pares de fatores positivos:
Agora verificamos a condição
para cada par:
- Para
temos OK. - Para
temos , não são coprimos — descartamos. - Para
temos OK.
Também vale considerar as permutaçõese .
Passo 6
Voltando aos
e
originais com
e
, geramos as soluções a partir dos pares
aceitos:
- De
vem . - De
vem . - De
vem . - De
vem .
Verificação rápida (exemplo):
e
(óbvio porque
é múltiplo de
);
e
(pode ser verificado pelo produto dividido pelo
, que é
).