Determine os inteiros positivos
e
sabendo que:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre os inteiros positivos
e
:
e
.
O que nos pedem é determinar quais são os inteiros positivos e
que satisfazem essas duas condições simultaneamente.
O que nos pedem é determinar quais são os inteiros positivos
Passo 2
Vou usar uma propriedade fundamental entre
e
: para quaisquer inteiros positivos
e
,
Breve explicação por que isso vale (é útil saber para a prova): escreva
e então
,
com
. Então
(porque os fatores primos restantes de
e
são distintos), e portanto
É uma fórmula que sempre podemos aplicar quando conhecemos
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Então precisamos achar inteiros positivos
e
tais que o produto seja
e ao mesmo tempo a
seja
.
Passo 4
Para explorar a condição da
de forma prática, escrevemos
onde
e
são inteiros positivos com
(porque já tirei o fator comum 8). Substituindo na fórmula do
:
Como
, temos
Portanto, o problema reduz-se a encontrar pares de inteiros positivos
coprimos tal que
.
Passo 5
Fatoramos
em primos:
Os fatores primos são distintos, então para garantir
cada primo deve ficar totalmente em
ou totalmente em
. Assim os pares
possíveis são dadas por todas as formas de distribuir os primos entre
e
. Listando os divisores de
que resultam em pares coprimos, temos os pares ordenados:
Cada um desses pares satisfaz
e
.
Passo 6
Agora voltamos aos
e
multiplicando
e
por
:
Aplicando isso aos pares de
listados obtemos os pares ordenados possíveis para
:
Todos esses pares têm
e
. Note que há simetria: trocar
e
dá a versão invertida do par.