Determine os inteiros positivos a e b sabendo que:
(b) \operatorname{mdc}(a, b)=8 \mathrm{c} \mathrm{mmc}(a, b)=560

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre os inteiros positivos a e b:
\operatorname{mdc}(a,b)=8 e \operatorname{mmc}(a,b)=560.
O que nos pedem é determinar quais são os inteiros positivos a e b que satisfazem essas duas condições simultaneamente.

Passo 2

Vou usar uma propriedade fundamental entre \gcd e \mathrm{lcm}: para quaisquer inteiros positivos a e b,
a\cdot b=\gcd(a,b)\cdot\mathrm{lcm}(a,b).
Breve explicação por que isso vale (é útil saber para a prova): escreva \gcd(a,b)=d e então a=d x, b=d y com \gcd(x,y)=1. Então \mathrm{lcm}(a,b)=d\cdot x\cdot y (porque os fatores primos restantes de x e y são distintos), e portanto
\gcd(a,b)\cdot\mathrm{lcm}(a,b)=d\cdot(dxy)=d^2xy=(dx)(dy)=a\cdot b.
É uma fórmula que sempre podemos aplicar quando conhecemos \gcd e \mathrm{lcm}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
a\cdot b=\gcd(a,b)\cdot\mathrm{lcm}(a,b)=8\cdot 560=4480.
Então precisamos achar inteiros positivos a e b tais que o produto seja 4480 e ao mesmo tempo a \gcd seja 8.

Passo 4

Para explorar a condição da \gcd de forma prática, escrevemos
a=8x,\qquad b=8y,
onde x e y são inteiros positivos com \gcd(x,y)=1 (porque já tirei o fator comum 8). Substituindo na fórmula do \mathrm{lcm}:
\mathrm{lcm}(a,b)=8\cdot x\cdot y.
Como \mathrm{lcm}(a,b)=560, temos
8\cdot x\cdot y=560 \quad\Rightarrow\quad x\cdot y=70.
Portanto, o problema reduz-se a encontrar pares de inteiros positivos x,y coprimos tal que x\cdot y=70.

Passo 5

Fatoramos 70 em primos:
70=2\cdot 5\cdot 7.
Os fatores primos são distintos, então para garantir \gcd(x,y)=1 cada primo deve ficar totalmente em x ou totalmente em y. Assim os pares (x,y) possíveis são dadas por todas as formas de distribuir os primos entre x e y. Listando os divisores de 70 que resultam em pares coprimos, temos os pares ordenados:
(1,70),\\ (2,35),\\ (5,14),\\ (7,10),\\ (10,7),\\ (14,5),\\ (35,2),\\ (70,1).
Cada um desses pares satisfaz x\cdot y=70 e \gcd(x,y)=1.

Passo 6

Agora voltamos aos a e b multiplicando x e y por 8:
(a,b)=(8x,8y).
Aplicando isso aos pares de x,y listados obtemos os pares ordenados possíveis para (a,b):
(8,560),\\ (16,280),\\ (40,112),\\ (56,80),\\ (80,56),\\ (112,40),\\ (280,16),\\ (560,8).
Todos esses pares têm \gcd=8 e \mathrm{lcm}=560. Note que há simetria: trocar a e b dá a versão invertida do par.

Resposta

(8,560)
(16,280)
(40,112)
(56,80)
(80,56)
(112,40)
(280,16)
(560,8)

Exercícios relacionados