Determine os inteiros positivos
e
sabendo que:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá duas condições sobre os inteiros positivos
e
:
e
Lista das informações relevantes:
e
são inteiros positivos; a soma
vale
; a razão entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum vale
. A tarefa é determinar quais são esses inteiros
e
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade importante entre
e
. Para quaisquer inteiros positivos
e
vale a fórmula
Explico por que: escrevendo
e
onde
e
, temos
. Multiplicando dá
, o que leva à fórmula acima.
Passo 3
Usando a escrita padrão, ponha
onde
. Com isso
. Então a razão pedida fica
Como nos dão que essa razão é
, obtemos
Além disso, da soma
segue
Portanto as incógnitas se reduzem a encontrar inteiros positivos
tais que
,
e
.
Passo 4
Observe que
divide
. Vamos fatorar
. Calculando,
. Logo os divisores positivos de
são
Assim
deve ser um desses valores e, em particular,
deve ser um inteiro correspondente.
Passo 5
Agora analisamos
com
. Fatoremos
:
Se
, cada primo (com sua potência) deve ficar inteiramente em
ou inteiramente em
— não podem compartilhar um mesmo primo. Assim os pares
possíveis (considerando ordem) são as divisões dos fatores primos em dois blocos. Lista dos pares com produto
e coprimos:
(e as trocas
). Para verificar, por exemplo
porque
e
não compartilham primos, etc.
Passo 6
Calcule agora as somas
para esses pares (não precisamos distinguir a ordem porque
é a mesma):
Como
e
deve ser divisor de
, só podemos aceitar os casos em que
seja um dos números
com
. Vamos testar cada soma:
- Se
então não é inteiro (pois ), descarta. - Se
então , que é divisor de — candidato válido. - Se
então não é inteiro, descarta. - Se
então , que é divisor de — candidato válido.
Portanto existem dois casos a investigar:
e
.
Passo 7
Caso 1:
e
. Dos pares coprimos com produto
, o que soma
é
(ou a troca). Então
Verificação rápida:
. A
e
, logo a razão
, como exigido.
Passo 8
Caso 2:
e
. Dos pares coprimos com produto
, o que soma
é
(ou a troca). Então
Verificação rápida:
. A
e
, novamente a razão é
.
Passo 9
Concluímos que existem duas soluções (considerando ordem de
irrelevante, cada solução também admite troca
). As soluções obtidas satisfazem ambas as condições do enunciado.