Determine os inteiros positivos a e b sabendo que:
(c) a+b=589 \mathrm{e} \frac{\operatorname{mmc}(a, b)}{\operatorname{mdc}(a . b)}=84

Passo 1

O enunciado dá duas condições sobre os inteiros positivos a e b:
a+b=589
e
\frac{\operatorname{mmc}(a,b)}{\operatorname{mdc}(a,b)}=84.
Lista das informações relevantes: a e b são inteiros positivos; a soma a+b vale 589; a razão entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum vale 84. A tarefa é determinar quais são esses inteiros a e b.

Passo 2

Vamos usar uma identidade importante entre \operatorname{mdc} e \operatorname{mmc}. Para quaisquer inteiros positivos a e b vale a fórmula
a\cdot b=\operatorname{mdc}(a,b)\cdot\operatorname{mmc}(a,b).
Explico por que: escrevendo a=gx e b=gy onde g=\operatorname{mdc}(a,b) e \gcd(x,y)=1, temos \operatorname{mmc}(a,b)=gxy. Multiplicando dá ab=g\cdot gxy = g\cdot\operatorname{mmc}(a,b), o que leva à fórmula acima.

Passo 3

Usando a escrita padrão, ponha
g=\operatorname{mdc}(a,b),\qquad a=gx,\qquad b=gy,
onde \gcd(x,y)=1. Com isso \operatorname{mmc}(a,b)=gxy. Então a razão pedida fica
\frac{\operatorname{mmc}(a,b)}{\operatorname{mdc}(a,b)}=\frac{gxy}{g}=xy.
Como nos dão que essa razão é 84, obtemos
xy=84.
Além disso, da soma a+b=589 segue
g(x+y)=589.
Portanto as incógnitas se reduzem a encontrar inteiros positivos g,x,y tais que \gcd(x,y)=1, xy=84 e g(x+y)=589.

Passo 4

Observe que g divide 589. Vamos fatorar 589. Calculando, 589=19\cdot31. Logo os divisores positivos de 589 são
1,\;19,\;31,\;589.
Assim g deve ser um desses valores e, em particular, x+y=\dfrac{589}{g} deve ser um inteiro correspondente.

Passo 5

Agora analisamos xy=84 com \gcd(x,y)=1. Fatoremos 84:
84=2^2\cdot3\cdot7.
Se \gcd(x,y)=1, cada primo (com sua potência) deve ficar inteiramente em x ou inteiramente em y — não podem compartilhar um mesmo primo. Assim os pares (x,y) possíveis (considerando ordem) são as divisões dos fatores primos em dois blocos. Lista dos pares com produto 84 e coprimos:
(1,84),\;(3,28),\;(4,21),\;(7,12)
(e as trocas (84,1), (28,3), (21,4), (12,7)). Para verificar, por exemplo \gcd(3,28)=1 porque 3 e 28 não compartilham primos, etc.

Passo 6

Calcule agora as somas x+y para esses pares (não precisamos distinguir a ordem porque x+y é a mesma):
1+84=85,\quad 3+28=31,\quad 4+21=25,\quad 7+12=19.
Como g(x+y)=589 e g deve ser divisor de 589, só podemos aceitar os casos em que x+y seja um dos números \dfrac{589}{g} com g\in\{1,19,31,589\}. Vamos testar cada soma:
  • Se x+y=85 então g=\dfrac{589}{85} não é inteiro (pois 85\nmid589), descarta.
  • Se x+y=31 então g=\dfrac{589}{31}=19, que é divisor de 589 — candidato válido.
  • Se x+y=25 então g=\dfrac{589}{25} não é inteiro, descarta.
  • Se x+y=19 então g=\dfrac{589}{19}=31, que é divisor de 589 — candidato válido.
Portanto existem dois casos a investigar: (x+y,g)=(31,19) e (19,31).

Passo 7

Caso 1: x+y=31 e g=19. Dos pares coprimos com produto 84, o que soma 31 é (x,y)=(3,28) (ou a troca). Então
a=gx=19\cdot3=57,\qquad b=gy=19\cdot28=532.
Verificação rápida: 57+532=589. A \operatorname{mdc}(57,532)=19 e \operatorname{mmc}(57,532)=19\cdot3\cdot28=19\cdot84, logo a razão \dfrac{\operatorname{mmc}}{\operatorname{mdc}}=84, como exigido.

Passo 8

Caso 2: x+y=19 e g=31. Dos pares coprimos com produto 84, o que soma 19 é (x,y)=(7,12) (ou a troca). Então
a=gx=31\cdot7=217,\qquad b=gy=31\cdot12=372.
Verificação rápida: 217+372=589. A \operatorname{mdc}(217,372)=31 e \operatorname{mmc}(217,372)=31\cdot7\cdot12=31\cdot84, novamente a razão é 84.

Passo 9

Concluímos que existem duas soluções (considerando ordem de a,b irrelevante, cada solução também admite troca a\leftrightarrow b). As soluções obtidas satisfazem ambas as condições do enunciado.

Resposta

a=57,\; b=532
a=217,\; b=372

Exercícios relacionados