Determine o intervalo de variação dos valores de P para os quais o módulo da resultante das três forças aplicada em A não excede 1125 N .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de valores de P tais que o módulo da resultante das três forças aplicadas em A não exceda 1125\\ \mathrm{N}.
Informações dadas no enunciado recebido por mim:
  • A única informação explícita é que existe uma variável P (uma intensidade de força) e que a condição é que o módulo da resultante das três forças em A seja \le 1125\\ \mathrm{N}.
Informações necessárias que estão faltando e que são essenciais para resolver numericamente o problema:
  • as direções (ângulos) das três forças;
  • as intensidades das outras duas forças (se não forem funções de P);
  • qual das três forças depende de P (apenas uma? duas? todas?);
  • possíveis orientações relativas (por exemplo, se os ângulos são medidos em relação ao mesmo eixo e quais são esses eixos);
  • qualquer figura/diagrama que acompañe o enunciado (se a questão original tinha um desenho, ele é necessário).
Como o enunciado depende dessas informações geométricas e numéricas que não foram fornecidas, não é possível obter um intervalo numérico para P. Abaixo eu explico passo a passo e didaticamente como resolver o problema assim que esses dados forem conhecidos — de modo que você consiga aplicar o procedimento na prova.

Passo 2

Ideia geral e representação vetorial (o que fazer na prova).
  • Representar cada força como um vetor no plano, usando um sistema de eixos x- y. Para cada força i escreva a intensidade F_i e o ângulo \theta_i que ela faz com o eixo x (o sentido positivo do eixo deve ser fixado).
  • A componente x e y de uma força de intensidade F com ângulo \theta são:
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta.
Expliquei o porquê: projetar um vetor sobre os eixos via trigonometria.
  • Se as três forças são \vec{F}_1,\vec{F}_2,\vec{F}_3, a resultante é
\vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3.
  • As componentes da resultante são
R_x = F_{1x}+F_{2x}+F_{3x},\qquad R_y = F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}.
  • O módulo da resultante é
\|\vec{R}\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}.
Na prova, você normalmente calcula R_x e R_y e depois o módulo. Para manipular desigualdades é conveniente trabalhar com o quadrado do módulo:
\|\vec{R}\|^2 = R_x^2+R_y^2.

Passo 3

Como aparece P: formulação simbólica útil (caso comum em provas).
  • Suponha que apenas uma das forças dependa de P; sem perda de generalidade, chame-a de \vec{F}_1 com intensidade F_1=P e ângulo \alpha. As outras duas são dadas e fixas: F_2,\theta_2 e F_3,\theta_3.
  • Calcule as somas das componentes das forças conhecidas e anote-as como constantes:
A = F_2\cos\theta_2 + F_3\cos\theta_3,\qquad B = F_2\sin\theta_2 + F_3\sin\theta_3.
(Estas duas quantidades A e B dependem só dos dados fig. — por isso a necessidade de conhecer os números/ângulos.)
  • Então as componentes da resultante ficam
R_x = P\cos\alpha + A,\qquad R_y = P\sin\alpha + B.
  • O quadrado do módulo é
\|\vec{R}\|^2 = (P\cos\alpha + A)^2 + (P\sin\alpha + B)^2.
Desenvolvendo e usando \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,
\|\vec{R}\|^2 = P^2 + 2P\bigl(A\cos\alpha + B\sin\alpha\bigr) + (A^2+B^2).
Isto é muito útil: a desigualdade \|\vec{R}\|\le 1125 transforma-se em uma desigualdade quadrática em P:
P^2 + 2D\,P + E \le R_0^2,
onde definições úteis são
D = A\cos\alpha + B\sin\alpha,\qquad E = A^2+B^2,\qquad R_0 = 1125.
Reescrevendo em forma padrão:
P^2 + 2D\,P + (E - R_0^2) \le 0.

Passo 4

Como resolver a desigualdade quadrática (passo a passo que dá para fazer na prova sem calculadora, em muitos casos).
  • Chame a função quadrática
f(P)=P^2 + 2D\,P + (E - R_0^2).
  • O coeficiente do termo P^2 é positivo ( =1), então a parábola abre para cima. A solução da desigualdade f(P)\le 0 (se existir) é o intervalo entre as raízes reais da equação quadrática f(P)=0.
  • Calcule o discriminante:
\Delta = (2D)^2 - 4\cdot 1\cdot (E-R_0^2) = 4\bigl(D^2 - (E-R_0^2)\bigr).
  • Se \Delta<0: não há raízes reais, logo f(P) não fica \le0 em nenhum P (já que a parábola está sempre positiva) — conclusão: nenhum P satisfaz a condição (nenhuma solução).
  • Se \Delta\ge 0: as raízes são
P_{1,2} = \frac{-2D \pm \sqrt{\Delta}}{2} = -D \pm \sqrt{D^2 - (E-R_0^2)}.
  • Como a parábola abre para cima, a solução da desigualdade é
P_{1}\le P \le P_{2},
com P_1 a menor raiz e P_2 a maior. Em notação explícita:
P \in \Bigl[-D - \sqrt{D^2 - (E-R_0^2)},\; -D + \sqrt{D^2 - (E-R_0^2)}\Bigr],
sempre sujeita à condição de que esse intervalo exista (discriminante não-negativo).

Passo 5

Detalhes práticos, interpretações e cuidados na aplicação
  • Verifique se P representa magnitude de força: normalmente P\ge 0. Então intersecte o intervalo obtido com [0,\infty). Por exemplo, se P_1<0<P_2, a solução física será 0\le P\le P_2.
  • Se mais de uma força depender de P (por exemplo F_1=k_1 P e F_2=k_2 P), o procedimento é análogo: as componentes R_x e R_y serão afins em P, e \|\vec{R}\|^2 ainda será um polinômio em P de grau até 2. Em geral obtém-se outra quadrática (ou, em caso particular, um polinômio de grau 2 com coeficiente distinto de 1), e a solução segue via discrimante e raízes.
  • Se a desigualdade à direita fosse diferente (por exemplo um outro valor numérico), substituir R_0 por esse valor e proceder igual.
  • Sempre preste atenção às unidades e use seno/cosseno com os ângulos corretos (graus vs radianos na calculadora, se for usar).

Passo 6

Checklist prático para aplicar rápido na prova (passo a passo executável)
  1. Fixe o eixo x e meça os ângulos \theta_i de cada força em relação a ele.
  2. Escreva as componentes F_{ix}=F_i\cos\theta_i, F_{iy}=F_i\sin\theta_i.
  3. Some as componentes das forças que NÃO dependem de P para obter A,B.
  4. Substitua a força que depende de P (por exemplo P em ângulo \alpha) e escreva R_x e R_y.
  5. Calcule \|\vec{R}\|^2 = R_x^2+R_y^2 e reduza a uma quadrática na variável P.
  6. Resolva a quadrática por discriminante e encontre o intervalo entre raízes; intersecte com P\ge 0 se for o caso.
  7. Verifique a consistência numérica (unidades e sinal).

Resposta

Não é possível determinar numericamente o intervalo de P porque o enunciado fornecido não traz as intensidades e/ou os ângulos das outras duas forças nem especifica qual(is) força(s) depende(m) de P. Para obter a resposta numérica é necessário fornecer: as magnitudes das outras forças, os ângulos (direções) de todas as forças e indicar qual força é igual a P (ou como P aparece nas forças).

Exercícios relacionados