Determine o intervalo de variação dos valores de
para os quais o módulo da resultante das três forças aplicada em A não excede 1125 N .
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de valores de
tais que o módulo da resultante das três forças aplicadas em
não exceda
.
Informações dadas no enunciado recebido por mim:
- A única informação explícita é que existe uma variável
(uma intensidade de força) e que a condição é que o módulo da resultante das três forças em seja .
Informações necessárias que estão faltando e que são essenciais para resolver numericamente o problema:
- as direções (ângulos) das três forças;
- as intensidades das outras duas forças (se não forem funções de
); - qual das três forças depende de
(apenas uma? duas? todas?); - possíveis orientações relativas (por exemplo, se os ângulos são medidos em relação ao mesmo eixo e quais são esses eixos);
- qualquer figura/diagrama que acompañe o enunciado (se a questão original tinha um desenho, ele é necessário).
Como o enunciado depende dessas informações geométricas e numéricas que não foram fornecidas, não é possível obter um intervalo numérico para
. Abaixo eu explico passo a passo e didaticamente como resolver o problema assim que esses dados forem conhecidos — de modo que você consiga aplicar o procedimento na prova.
Passo 2
Ideia geral e representação vetorial (o que fazer na prova).
- Representar cada força como um vetor no plano, usando um sistema de eixos
- . Para cada força escreva a intensidade e o ângulo que ela faz com o eixo (o sentido positivo do eixo deve ser fixado). - A componente
e de uma força de intensidade com ângulo são:
Expliquei o porquê: projetar um vetor sobre os eixos via trigonometria.
- Se as três forças são
, a resultante é
- As componentes da resultante são
- O módulo da resultante é
Na prova, você normalmente calcula
e
e depois o módulo. Para manipular desigualdades é conveniente trabalhar com o quadrado do módulo:
Passo 3
Como aparece
: formulação simbólica útil (caso comum em provas).
- Suponha que apenas uma das forças dependa de
; sem perda de generalidade, chame-a de com intensidade e ângulo . As outras duas são dadas e fixas: e . - Calcule as somas das componentes das forças conhecidas e anote-as como constantes:
(Estas duas quantidades
e
dependem só dos dados fig. — por isso a necessidade de conhecer os números/ângulos.)
- Então as componentes da resultante ficam
- O quadrado do módulo é
Desenvolvendo e usando
,
Isto é muito útil: a desigualdade
transforma-se em uma desigualdade quadrática em
:
onde definições úteis são
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 4
Como resolver a desigualdade quadrática (passo a passo que dá para fazer na prova sem calculadora, em muitos casos).
- Chame a função quadrática
- O coeficiente do termo
é positivo ( ), então a parábola abre para cima. A solução da desigualdade (se existir) é o intervalo entre as raízes reais da equação quadrática . - Calcule o discriminante:
- Se
: não há raízes reais, logo não fica em nenhum (já que a parábola está sempre positiva) — conclusão: nenhum satisfaz a condição (nenhuma solução). - Se
: as raízes são
- Como a parábola abre para cima, a solução da desigualdade é
com
a menor raiz e
a maior. Em notação explícita:
sempre sujeita à condição de que esse intervalo exista (discriminante não-negativo).
Passo 5
Detalhes práticos, interpretações e cuidados na aplicação
- Verifique se
representa magnitude de força: normalmente . Então intersecte o intervalo obtido com . Por exemplo, se , a solução física será . - Se mais de uma força depender de
(por exemplo e ), o procedimento é análogo: as componentes e serão afins em , e ainda será um polinômio em de grau até . Em geral obtém-se outra quadrática (ou, em caso particular, um polinômio de grau 2 com coeficiente distinto de 1), e a solução segue via discrimante e raízes. - Se a desigualdade à direita fosse diferente (por exemplo um outro valor numérico), substituir
por esse valor e proceder igual. - Sempre preste atenção às unidades e use seno/cosseno com os ângulos corretos (graus vs radianos na calculadora, se for usar).
Passo 6
Checklist prático para aplicar rápido na prova (passo a passo executável)
- Fixe o eixo
e meça os ângulos de cada força em relação a ele. - Escreva as componentes
, . - Some as componentes das forças que NÃO dependem de
para obter . - Substitua a força que depende de
(por exemplo em ângulo ) e escreva e . - Calcule
e reduza a uma quadrática na variável . - Resolva a quadrática por discriminante e encontre o intervalo entre raízes; intersecte com
se for o caso. - Verifique a consistência numérica (unidades e sinal).
Resposta
Não é possível determinar numericamente o intervalo de
porque o enunciado fornecido não traz as intensidades e/ou os ângulos das outras duas forças nem especifica qual(is) força(s) depende(m) de
. Para obter a resposta numérica é necessário fornecer: as magnitudes das outras forças, os ângulos (direções) de todas as forças e indicar qual força é igual a
(ou como
aparece nas forças).