- Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto
.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
- Posição do ponto
: deslocamento horizontal de a partir do eixo vertical mostrado e deslocamento vertical de acima do eixo . Ou seja, as coordenadas de são . - Posição do ponto
: sobre o eixo , a à direita da origem . Ou seja, as coordenadas de são . - Posição do ponto
: sobre a linha horizontal abaixo da origem, a à esquerda de e abaixo. Ou seja, as coordenadas de são . - Força aplicada em
: com direção indicada por um triângulo (seta apontando para cima e para a esquerda na figura). - Força aplicada em
: fazendo um ângulo de acima do eixo positivo .
Esses são todos os dados relevantes do enunciado/figura. A resolução começa agora.
Passo 2
Conceito e fórmula que usamos (explicação didática e sem pular etapas).
- Definição física: o momento de uma força em relação a um ponto mede a tendência que a força tem de causar rotação em torno desse ponto. Em duas dimensões, escolhemos o eixo
perpendicular ao plano ; o momento resultante será um escalar (com sinal) que corresponde à componente do vetor momento. - Para uma força
aplicada em um ponto cuja posição, em relação ao ponto de referência , é o vetor , o momento escalar (com sinal) em relação a é dado por:
Aqui:
-
e são as componentes do vetor posição do ponto de aplicação da força relativas a (ou seja ), -
e são as componentes da força na direção e . - Convenção de sinal (importante para o sentido): adotamos a convenção usual em estática:
-
significa rotação no sentido anti-horário (counterclockwise), isto é, momento saindo da página (eixo ); -
significa rotação no sentido horário (clockwise), isto é, momento entrando na página (eixo ).
-
Vou aplicar essa fórmula separadamente para cada força (em
e em
), somar os momentos e então interpretar o sinal e a direção.
Passo 3
Calcular as componentes das forças (explico cada passo).
- Força em
: com direção dada pelo triângulo . Isso significa que a direção tem componentes proporcionais a e ao longo das pernas do triângulo, e hipotenusa . Na figura a seta aponta para cima e para a esquerda, então:
- componente horizontal:
, - componente vertical:
.
Calculemos:
- Força em
: com ângulo acima do eixo . Componentes:
Passo 4
Calcular os vetores posição relativos a
(ou seja
) e explicar passo a passo.
-
Coordenadas (peguei da imagem — já listadas no Passo 1):
-
, -
, -
.
-
-
Vetor posição de
relativo a :
Isso significa
e
.
- Vetor posição de
relativo a :
Isso significa
e
.
Passo 5
Calcular os momentos individuais usando
. Vou mostrar cada produto e somar com cuidado (sem pular etapas).
- Momento devido à força em
:
- Usando
, , , ,
Calcule cada termo:
então
O sinal negativo indica que esta força sozinha tende a girar
no sentido horário.
- Momento devido à força em
:
- Usando
, , , ,
Calcule cada termo:
e lembrar o sinal na fórmula dá:
Podemos deixar em forma exata ou numérica. Valor numérico:
logo
O resultado positivo indica que a força em
tende a girar
no sentido anti-horário.
Passo 6
Somar os momentos e interpretar o resultado (passo a passo).
- Soma:
Valor numérico:
-
Sinal e sentido:
é positivo ( ), portanto o momento resultante tende a girar no sentido anti-horário. Em termos de eixo perpendicular, isso corresponde a um momento na direção do eixo positivo (ou seja, saindo da página). -
Direção: como estamos em um problema planar (forças no plano
), o momento é perpendicular ao plano; assim a direção é ao longo do eixo . Como o momento é positivo, é na direção . -
Arredondamento prático: geralmente dois ou três algarismos significativos bastam; aqui:
Resposta
Intensidade:
Direção: perpendicular ao plano (ao longo do eixo
)
Sentido: anti-horário (momento no sentido )
Direção: perpendicular ao plano
Sentido: anti-horário (momento no sentido