1. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto P.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto P.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • Posição do ponto P: deslocamento horizontal de 4\\ \text{m} a partir do eixo vertical mostrado e deslocamento vertical de 3\\ \text{m} acima do eixo x. Ou seja, as coordenadas de P são \bigl(4,\,3\bigr)\\ \text{m}.
  • Posição do ponto B: sobre o eixo x, a 2\\ \text{m} à direita da origem O. Ou seja, as coordenadas de B são \bigl(2,\,0\bigr)\\ \text{m}.
  • Posição do ponto A: sobre a linha horizontal abaixo da origem, a 2\\ \text{m} à esquerda de O e 5\\ \text{m} abaixo. Ou seja, as coordenadas de A são \bigl(-2,\,-5\bigr)\\ \text{m}.
  • Força aplicada em B: \,260\\ \text{N}\, com direção indicada por um triângulo 5\!-\!12\!-\!13 (seta apontando para cima e para a esquerda na figura).
  • Força aplicada em A: \,400\\ \text{N}\, fazendo um ângulo de 30^\circ acima do eixo positivo x.
Esses são todos os dados relevantes do enunciado/figura. A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (explicação didática e sem pular etapas).
  • Definição física: o momento de uma força em relação a um ponto mede a tendência que a força tem de causar rotação em torno desse ponto. Em duas dimensões, escolhemos o eixo z perpendicular ao plano xy; o momento resultante será um escalar (com sinal) que corresponde à componente z do vetor momento.
  • Para uma força \mathbf{F}=(F_x,F_y) aplicada em um ponto cuja posição, em relação ao ponto de referência P, é o vetor \mathbf{r}=(x,y), o momento escalar (com sinal) em relação a P é dado por:
M = x\,F_y - y\,F_x.
Aqui:
  • x e y são as componentes do vetor posição do ponto de aplicação da força relativas a P (ou seja \mathbf{r}=\mathbf{r}_{\text{aplic}}-\mathbf{r}_P),
  • F_x e F_y são as componentes da força na direção x e y.
  • Convenção de sinal (importante para o sentido): adotamos a convenção usual em estática:
    • M>0 significa rotação no sentido anti-horário (counterclockwise), isto é, momento saindo da página (eixo +z);
    • M<0 significa rotação no sentido horário (clockwise), isto é, momento entrando na página (eixo -z).
Vou aplicar essa fórmula separadamente para cada força (em A e em B), somar os momentos e então interpretar o sinal e a direção.

Passo 3

Calcular as componentes das forças (explico cada passo).
  1. Força em B: \,260\\ \text{N} com direção dada pelo triângulo 5\!-\!12\!-\!13. Isso significa que a direção tem componentes proporcionais a \Delta x=5 e \Delta y=12 ao longo das pernas do triângulo, e hipotenusa 13. Na figura a seta aponta para cima e para a esquerda, então:
  • componente horizontal: F_{Bx} = -\,260\cdot\dfrac{5}{13},
  • componente vertical: F_{By} = +\,260\cdot\dfrac{12}{13}.
Calculemos:
F_{Bx} = -\,260\cdot\dfrac{5}{13} = -\,260\cdot\dfrac{5}{13} = -\,100\\ \text{N},
F_{By} = +\,260\cdot\dfrac{12}{13} = +\,260\cdot\dfrac{12}{13} = +\,240\\ \text{N}.
  1. Força em A: \,400\\ \text{N} com ângulo 30^\circ acima do eixo +x. Componentes:
F_{Ax} = 400\cos 30^\circ = 400\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3}\\ \text{N},
F_{Ay} = 400\sin 30^\circ = 400\cdot\frac{1}{2} = 200\\ \text{N}.

Passo 4

Calcular os vetores posição relativos a P (ou seja \mathbf{r}=\mathbf{r}_{\text{aplic}}-\mathbf{r}_P) e explicar passo a passo.
  • Coordenadas (peguei da imagem — já listadas no Passo 1):
    • \mathbf{r}_P=(4,\,3)\\ \text{m},
    • \mathbf{r}_B=(2,\,0)\\ \text{m},
    • \mathbf{r}_A=(-2,\,-5)\\ \text{m}.
  • Vetor posição de B relativo a P:
\mathbf{r}_{B/P} = \mathbf{r}_B - \mathbf{r}_P = (2-4,\;0-3) = (-2,\,-3)\\ \text{m}.
Isso significa x_{B/P}=-2\\ \text{m} e y_{B/P}=-3\\ \text{m}.
  • Vetor posição de A relativo a P:
\mathbf{r}_{A/P} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_P = (-2-4,\;-5-3) = (-6,\,-8)\\ \text{m}.
Isso significa x_{A/P}=-6\\ \text{m} e y_{A/P}=-8\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular os momentos individuais usando M = xF_y - yF_x. Vou mostrar cada produto e somar com cuidado (sem pular etapas).
  1. Momento devido à força em B:
  • Usando x_{B/P}=-2, y_{B/P}=-3, F_{Bx}=-100\\ \text{N}, F_{By}=240\\ \text{N},
M_B = x_{B/P}\,F_{By} - y_{B/P}\,F_{Bx} = (-2)\cdot 240 - (-3)\cdot(-100).
Calcule cada termo:
(-2)\cdot 240 = -480, \qquad (-3)\cdot(-100) = +300,
então
M_B = -480 - 300 = -780\\ \text{N}\cdot\text{m}.
O sinal negativo indica que esta força sozinha tende a girar P no sentido horário.
  1. Momento devido à força em A:
  • Usando x_{A/P}=-6, y_{A/P}=-8, F_{Ax}=200\sqrt{3}\\ \text{N}, F_{Ay}=200\\ \text{N},
M_A = x_{A/P}\,F_{Ay} - y_{A/P}\,F_{Ax} = (-6)\cdot 200 - (-8)\cdot(200\sqrt{3}).
Calcule cada termo:
(-6)\cdot 200 = -1200, \qquad (-8)\cdot(200\sqrt{3}) = -1600\sqrt{3},
e lembrar o sinal na fórmula dá:
M_A = -1200 - (-1600\sqrt{3}) = -1200 + 1600\sqrt{3}.
Podemos deixar em forma exata ou numérica. Valor numérico:
1600\sqrt{3}\approx 1600\times 1{,}73205 \approx 2771{,}28,
logo
M_A \approx -1200 + 2771{,}28 = 1571{,}28\\ \text{N}\cdot\text{m}.
O resultado positivo indica que a força em A tende a girar P no sentido anti-horário.

Passo 6

Somar os momentos e interpretar o resultado (passo a passo).
  • Soma:
M_{\text{res}} = M_A + M_B = \bigl(-1200 + 1600\sqrt{3}\bigr) + (-780) = 1600\sqrt{3} - 1980.
Valor numérico:
M_{\text{res}} \approx 1571{,}28 + (-780) = 791{,}28\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Sinal e sentido: M_{\text{res}} é positivo ( \approx 791{,}3), portanto o momento resultante tende a girar no sentido anti-horário. Em termos de eixo perpendicular, isso corresponde a um momento na direção do eixo positivo z (ou seja, saindo da página).
  • Direção: como estamos em um problema planar (forças no plano xy), o momento é perpendicular ao plano; assim a direção é ao longo do eixo z. Como o momento é positivo, é na direção +z.
  • Arredondamento prático: geralmente dois ou três algarismos significativos bastam; aqui:
M_{\text{res}} \approx 7{,}91\times 10^{2}\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Resposta

Intensidade: M_{\text{res}} = 1600\sqrt{3} - 1980 \approx 791{,}3\\ \text{N}\cdot\text{m}
Direção: perpendicular ao plano xy (ao longo do eixo z)
Sentido: anti-horário (momento no sentido +z)

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