Determine o intercepto- x e o intercepto- y do gráfico de cada uma das seguintes funções:
y=4 x^{2}+1.

Passo 1

O enunciado pede os interceptos do gráfico da função y=4x^{2}+1. Vou listar claramente o que é pedido e o que a função nos dá:
  • Perguntas: determinar o intercepto- x (onde o gráfico cruza o eixo x) e o intercepto- y (onde cruza o eixo y).
  • Informação dada: a função é y=4x^{2}+1.

Passo 2

Definição e estratégia: o intercepto- y é o ponto do gráfico com x=0. Assim, para obter o intercepto- y basta calcular y quando x=0.
O intercepto- x são os pontos onde y=0. Assim, para obter os interceptos- x resolvemos a equação 4x^{2}+1=0 e vemos se há soluções reais.

Passo 3

Calcular o intercepto- y: substituir x=0 em y=4x^{2}+1.
y=4\cdot 0^{2}+1=0+1=1.
Portanto o intercepto- y é o ponto (0,1).

Passo 4

Calcular os interceptos- x: colocar y=0 e resolver a equação para x.
0=4x^{2}+1.
Subtrair 1 de ambos os lados:
-1=4x^{2}.
Dividir por 4:
x^{2}=-\tfrac{1}{4}.
Agora tomar a raiz quadrada. Como o lado direito é negativo, as soluções são complexas:
x=\pm\sqrt{-\tfrac{1}{4}}=\pm\mathrm{i}\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\pm\tfrac{\mathrm{i}}{2},
onde \mathrm{i} é a unidade imaginária ( \mathrm{i}^{2}=-1). Como essas raízes não são números reais, não existem interceptos- x reais do gráfico no plano real.

Passo 5

Intuição geométrica curta (para fixar): a função é uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo ( 4>0), logo abre para cima. O termo constante é 1, que é o valor mínimo da parábola (vértice em x=0, y=1). Como o mínimo vale 1>0, a parábola fica inteiramente acima do eixo x e não o cruza — por isso nenhum intercepto- x real.

Resposta

Intercepto-x: nenhum intercepto real
Intercepto-y: (0,1)

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