Determine a interseção das quádricas S_{1}: \frac{z^{2}}{4}=y e S_{2}:-\frac{z^{2}}{2}=y.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre as quádricas
S_{1}:\;y=\frac{z^{2}}{4}
e
S_{2}:\;y=-\frac{z^{2}}{2}.
O que precisamos fazer é resolver o sistema formado por essas duas equações em (x,y,z).

Passo 2

Como ambas dão y em função de z, igualamos as expressões:
\frac{z^{2}}{4} \;=\;-\,\frac{z^{2}}{2}.

Passo 3

Para resolver \frac{z^{2}}{4}=-\frac{z^{2}}{2}, multiplicamos ambos os lados por 4:
z^{2} = -2\,z^{2} \quad\Longrightarrow\quad 3\,z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad z=0.

Passo 4

Substituindo z=0 em qualquer das superfícies, por exemplo em y=\tfrac{z^{2}}{4}, vem
y=\frac{0^{2}}{4}=0.

Passo 5

Nenhuma das equações limita x, de modo que x é livre. Portanto, a interseção é uma reta paralela ao eixo x.

Resposta

A interseção é a reta
\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
isto é, o próprio eixo x no espaço.

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