Determine a interseção das quádricas S_{1}: \frac{z^{2}}{4}=y e S_{2}: \frac{y^{2}}{4}=z.

Passo 1

Resumindo, precisamos achar todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
\frac{z^{2}}{4}=y
e
\frac{y^{2}}{4}=z.
O conteúdo envolve eliminação de variáveis em um sistema e reconhecimento de que x é livre (não aparece nas equações).

Passo 2

Da primeira equação já temos
y=\frac{z^{2}}{4}.
Substituindo esse y na segunda equação obtemos
\frac{\bigl(\frac{z^{2}}{4}\bigr)^{2}}{4}=z.

Passo 3

Simplificando a equação de z:
\frac{z^{4}}{16}\cdot\frac{1}{4}=z \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{4}}{64}=z \quad\Longrightarrow\quad z^{4}-64\,z=0 \quad\Longrightarrow\quad z\,(z^{3}-64)=0.
Dessa forma, as soluções reais são
z=0 \quad\text{ou}\quad z^{3}=64\implies z=4.

Passo 4

Para cada valor de z encontramos y via y=z^{2}/4:
  • Se z=0, então y=0^{2}/4=0.
  • Se z=4, então y=4^{2}/4=4.
    Em ambos os casos, x fica livre (pode ser qualquer número real).

Resposta

Os pontos de interseção formam a união de duas retas paralelas ao eixo x:
(x,0,0) para todo x\in\mathbb{R}
e
(x,4,4) para todo x\in\mathbb{R}.

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