Determine a intersecção da qrádrica z=5 x^{2}+y^{2} com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
z=1
Passo 1
O enunciado pede a curva de intersecção entre a qrádrica
z = 5x^{2} + y^{2}
e o plano
z = 1.
O conteúdo aqui é reconhecer que a intersecção de uma superfície quadrática com um plano paralelo ao plano xy gera uma cônica no plano z=1. Para resolver, vamos substituir z=1 na equação da qrádrica e identificar o tipo de cônica obtida, depois fazer um esboço.
Passo 2
Substituindo z=1 em z = 5x^{2} + y^{2}, obtemos
1 = 5x^{2} + y^{2},
ou seja,
5x^{2} + y^{2} = 1.
Passo 3
Para identificar o tipo de curva, escrevemos em forma canônica dividindo tudo por 1:
\frac{x^{2}}{\tfrac{1}{5}} + \frac{y^{2}}{1} = 1.
Isto é a equação de uma elipse no plano z=1, com semi-eixo em x de
a_x = \sqrt{\tfrac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}},
e semi-eixo em y de
a_y = 1.
Passo 4
Uma parametrização natural dessa elipse é
\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{5}}\cos t,\\\ y = \sin t,\\\ z = 1, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi).
No esboço, a curva fica no nível z=1, centrada na origem, interceptando os eixos em
com semi-eixos \tfrac{1}{\sqrt{5}} (eixo x) e 1 (eixo y). Esboço: uma elipse horizontal em z=1 passando pelos pontos (\pm\tfrac{1}{\sqrt{5}},0,1) e (0,\pm1,1).